Bonsoir
J'ai une question qui est hors programme.
Dans un exercice on a x^2y"+axy'+by=k
Ils proposent de faire le changement de variable t=ln|x| pour avoir des coefficients réels.
Voilà ce qu'ils écrivent dans la correction:
x=e^t
y(x)=z(t) je ne comprends pas cette égalité comment on l'obtient ?
Merci à vous
changement
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Julien
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: changement
Bonjour Julien,
On pose t=ln|x| donc e^t = e^(ln|x|) soit e^t = |x| or exp est strictement positif, donc x=e^t.
Ensuite, y(x) = y(e^t) = z(t) = z(ln|x|) avec z = y o exp (z est la composée de y et exp).
Donc dans ton équation différentielle tu auras :
y(x) = z(ln|x|)
on dérive par rapport à x : y'(x) = 1/x z'(ln|x|) (dérivée d'une fonction composée)
puis \(y''(x) = \frac{-1}{x^2} z'(ln|x|) + \frac{1}{x} z''(ln|x|)\times \frac{1}{x}\)
tu remplaces y par z dans ton équation ... et tu dois trouver une équation différentielle du second degré à coefficient constant !
SoSMath.
On pose t=ln|x| donc e^t = e^(ln|x|) soit e^t = |x| or exp est strictement positif, donc x=e^t.
Ensuite, y(x) = y(e^t) = z(t) = z(ln|x|) avec z = y o exp (z est la composée de y et exp).
Donc dans ton équation différentielle tu auras :
y(x) = z(ln|x|)
on dérive par rapport à x : y'(x) = 1/x z'(ln|x|) (dérivée d'une fonction composée)
puis \(y''(x) = \frac{-1}{x^2} z'(ln|x|) + \frac{1}{x} z''(ln|x|)\times \frac{1}{x}\)
tu remplaces y par z dans ton équation ... et tu dois trouver une équation différentielle du second degré à coefficient constant !
SoSMath.
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Julien
Re: changement
Merci infiniment pr votre aide
Mais comment on aurait pu "deviner" qu'il fallait introduire une fonction z et poser y(x)=z(t) juste avec l'information t=ln|x| ?
Mais comment on aurait pu "deviner" qu'il fallait introduire une fonction z et poser y(x)=z(t) juste avec l'information t=ln|x| ?
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: changement
Bonjour Julien,
Il faut décrire certaines choses en maths pour avoir une meilleur vision d'ensemble et ne pas faire d'erreurs (en dérivant des fonctions composées par exemple).
A bientôt !
Il faut décrire certaines choses en maths pour avoir une meilleur vision d'ensemble et ne pas faire d'erreurs (en dérivant des fonctions composées par exemple).
A bientôt !