Exercice dm non résolu

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Si tu as prouvé cela, cela veut dire que la propriété est vraie au rang n+1. On a donc prouvé l'hérédité de la propriété.
Finalement, ayant prouvé l'initialisation et l'hérédité, on a montré par récurrence la propriété.
Bonne conclusion

[Terry]

tres bien merci, mais je ne comprend pas en quoi l'herediter est utile et a quoi elle sert (j'ai appliquer la formule sans la comprendre)

[sos-math(21)]

Ce n'était pas une récurrence qu'il fallait faire ?
Depuis un bon nombre de messages, on est sur une démonstration de ta formule à l'aide d'une récurrence.
Alors si toi-même ne sais plus pourquoi on fait cela.....
Bonne continuation

[Terry]

oui, mais je ne sais pas a quoi sert l'herediter, quel est son but et ce qu'elle demontre.

[sos-math(21)]

La démonstration par récurrence est une méthode de démonstration particulière pour des propriétés qui dépendent d'un entier naturel n.
Si on considère une "formule" P(n) qui dépend d'un entier naturel n et qu'on veut montrer que P(n) est vraie pour tout n.
1) On montre que P(0) (ou P(1)) est vraie, c'est-à-dire qu'on vérifie qu'en remplaçant n par 0 (ou 1) dans la formule, celle-ci est vraie. C'est l'initialisation ;
2) On se place à un entier n quelconque fixé et on suppose que P(n) est vraie. Il faut ensuite obtenir par des calculs, d'autres propriétés que P(n+1) est vraie.
Cette étape est le corps de la récurrence, on l'appelle l'hérédité (qui signifie bien transmettre quelque chose.
3) On conclut : pour tout entier n, P(n) est vraie.
Par exemple montrons par récurrence sur \(n\geq 1\) la propriété P(n) : "\(2^n\geq n\)" ;
1) initialisation : \(2^1=2\geq 1\) donc la propriété P(1) : \(2^1\geq 1\) est vérifiée.
2) hérédité : soit un entier \(n\geq 1\) quelconque fixé tel que P(n) soit vraie. Alors on a \(2^n\geq n\).
On essaie de comparer \(2^{n+1}\) en écrivant que \(2^{n+1}=2^n\times 2\) or comme \(2^n\geq n\), on a \(2^{n+1}\geq n\times 2\geq n+1\) (le double d'un entier \(n\geq 1\) est toujours supérieur à son suivant)
On a donc obtenu l'inégalité avec des n+1 à la place des n donc P(n+1) est vraie et l'hérédité est prouvée.
3) On conclut : pour tout entier \(n\geq 1\), P(n) est vraie : "\(2^n\geq n\).
Est-ce plus clair ?

[Terry]

oui, donc mon calcul a parmis de montrer que 1^3+...+ (n+1)^3=((p+1)²/4)*(p+2²)
est-ce cela?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton calcul va jusqu'au rang n+1 donc tu as montré l'hérédité.
Par Récurrence tu peux conclure que \(1^3+2^3+.....n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) pour tout entier n.
Bonne rédaction.