bijection

[Ali]

Bonjour

J'ai essayé de résoudre un exercice sur les fonctions mais je bloque sur un question:
soit f: définie de [1, +inf[ vers [2;+inf[ par \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)
montrer que f est bijective:
donc soit :\(y=f(x)\Longleftrightarrow y=x+\frac{1}{x}\) , eqation à resoudre avec x comme inconne
\(\Longleftrightarrow x^2 -xy+1=0\)
le calcul de delta (y plus grand que 2!) donne 2 racines distinctes (le cas de y=2 donne une racine double x=1)
\(x_1=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\) et \(x_2=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}\)

là je bloque, je sais qu'une des 2 racines doit sauter mais j'arrive pas à le démontrer.

je consulte la correction, elle donne comme seule solution \(x_1=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\) car \(x_1\gt1\) mais pas \(x_2\) car \(x_2\lt 1\) (je vois pas comment x2 est inf à 1)

merci pour l'aide

[SoS-Math(25)]

Bonjour Ali,

En effet, cela ne semble pas évident.

Montrer que \(~\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2} \leq 1\) pour y>2 revient à montrer que :

\(~y-\sqrt{y^2-4} \leq 2\) pour y>2 revient à montrer que :

\(~y - 2 \leq \sqrt{y^2-4}\) Comme \(~y > 2\), les deux membres de l'inégalité sont positifs. De plus, la fonction carrée est croissante sur \(~[0;+ \infty[\)

donc, revient à montrer que :

\(~(y - 2)^2 \leq y^2-4\)...

Je te laisse finir.

En espérant t'avoir aidé,

A bientôt !

[ali]

bonsoir,

merci pour la réponse, si j'ai bien compris l'approche, elle repose sur des équivalences successives:

\(\frac{y-\sqrt{y^2-4}} {2}\lt1\Longleftrightarrow y-\sqrt{y^2-4}\lt2\Longleftrightarrow y^2-4\gt y^2-4y+4\) ...\(\Longleftrightarrow y\gt2\), cette dernière inégalité étant vraie par hypothèse donc la première l'est aussi et donc x2 est bien strictement inférieur à 1

(j'ai pris l'inégalité stricte pour bien marquer l'intervalle d'appartenance de x)


cordialement

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Ali,

Oui tu as raison !
Cependant par hypothèse x>1 (car x appartient à [1, +inf[), donc x2 n'appartient pas à l'ensemble de définition, donc il n'est pas solution.

SoSMath.