Exercice dm non résolu

[Terry]

Bonjour, je viens vers vous car j'ai un exercice de DM non réussi et je voudrais avoir de l'aide:

Démontrer que, pour tout nEN* (entier naturel non nul):

1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3 = (n²n+1)²)/4

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Terry,

Fais une démonstration par récurrence de cette égalité : \(\sum_{0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Vérifie que la propriété est vraie pour \(n = 1\).

Ensuite suppose que pour un certain \(n\) tu as \(\sum_{0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) et démontre qu'en ajoutant \((n+1)^3\) tu as \(\sum_{0}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\).

Bon courage

[Terry]

n=1
donc 4/4=1
1=1

j'ai pas compris votre dernière indication.

[SoS-Math(11)]

C'est l'hérédité, regarde dans ton livre pour avoir des exemples et des explication sur l'hérédité d'une propriété.

Bon courage

[Terry]

oui, je vien de comprendre, il démontrer l'herediter avec n+1 donc:

((n+1²)(n+2)²)/4
donc:

(n²+2n+1)(n²+4n+4)/4
2n²+8n+4/4

est-ce cela?

on peut en conclure que pour tout nEN*>+oo

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu ne démontres rien en disant cela,
il faut supposer que l'égalité est vraie pour un certain entier \(n\geq 1\) fixé :
\(\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
Donc on s'intéresse à la somme mais avec un terme de plus :
\(\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=....\)
C'est cette dernière expression qu'il faut arranger pour prouver que la propriété est vraie au rang \(n+1\) et par là même montrer l'hérédité.
Il te reste un peu de travail...
Bon courage

[Terry]

donc arranger cela donne:
((2n²+8n+4)/4)+(1+n)^3?

[SoS-Math(11)]

Il vaut mieux factoriser (mettre \((n+1)^2\) en facteur) au lieu de développer tu verras plus facilement apparaître \((n+2)^2\) ; penses aux identités.

Bon courage pour les calculs

[Terry]

Pour factoriser avec (n+1)², je n'ai pas a entrer le (n+1)^3 dans la factorisation?
je dois juste factorise ((n+1)²*(n+1)²)/4?

[SoS-Math(11)]

Si, il faut d'abord réduire au même dénominateur (4) puis tout regrouper en une fraction et enfin factoriser.

[Terry]

((n+1)²*(n+1)²)/4 + ((n+1)^3 *4) /4= ((n+1)²*(n+1)²)+ ((n+1)^3 *4) /4

=(n+1)* ((n+1)+(n+1)+(n+1)²) *4 /4

comme ceci?

[SoS-Math(11)]

Tu es sur la bonne voie mais il y a une erreur au départ que je n'avais pas vu.

Tu as \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}\). A ce moment tu peux factoriser.

Attention, tu as mis \(\frac{(n+1)^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\) il faut changer \((n+1)\) et le remplacer par \(n\).

Sinon tu es bien parti

[Terry]

Je ne comprend pas pourquoi dans le premier membre on a pas (n+1)^2 et (n+2)^2 ?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Terry,

il faut supposer que l'égalité est vraie pour un certain entier \(n\geq 1\) fixé :
\(\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
Donc on s'intéresse à la somme mais avec un terme de plus :
\(\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=....\)
Bon courage

Le \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) vient donc de l'hypothèse de récurrence.

Est-ce cela ta question ?

Ensuite reprends les calculs :

Tu as \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}\)

Pour trouver \(~ \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.\) en factorisant par \(~ (n+1)^2\)

Bon courage !

[Terry]

j'ai trouver:
1^3+2^3+3^3+...+p^3+(p+1)^3=((p+1)²/4)*(p+2²)
que dois je en conclure? Est-ce bon?