exercice

[laurine]

Bonjour a tous,
je bloque sur cette exercice : montrer que l'equation (E):8=x au cube/x+1 et I= ]-1; 3/2 ]

Merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour Laurine,

Tu dois démontrer que l'équation \(\frac{x^3}{x+1}=8\)admet une solution dans l'intervalle ]\({-1} ; \frac{3}{2}\)[

La limite en -1 à droite de \(\frac{x^3}{x+1}\)est moins l'infini et \(\frac{1,5^3}{1,5+1}=1,35\) donc \(\frac{x^3}{x+1}\) reste toujours inférieur à 8, cela me semble bizarre.

Vérifie ton énoncé, à bientôt sur le forum

[laurine]

L'enonce exact est : montrer que l'equation (E) admet au moins une solution sur l'intervalle I indique

[SoS-Math(11)]

Il y a trois solutions : \({-2}\) puis \(1-\sqrt 5\) et \(1+sqrt 5\) donc deux solutions inférieures à -1 et une supérieure à 2.

Il n'y en a pas dans l'intervalle donné.

Je ne peux pas t'aider plus que cela.

[laurine]

Effzctivement il y avait une erreur dans le manuel l'intervalle est : [0 ; 4]

[SoS-Math(11)]

Pour démontrer l'existence de la solution, tu utilises le théorème de la valeur intermédiaire :

Tu dois vérifier que la fonction est continue sur I, (f dérivable entraîne f continue)
Tu dois vérifier que f est monotone sur I, (la dérivée ne change pas de signe)
et que f(0) < 8 et f(4) > 8 pour pouvoir l'appliquer.

Bonne fin d'exercice

[laurine]

Pour la derivee je trouve 3x carre/ 1 ?

[SoS-Math(11)]

As-tu utilisé la formule \((\frac{u}{v})^,=\frac{u^,v-uv^,}{v^2}\) ?

Vérifie tes calculs

[laurine]

2x au cube +3 x au carre / x au carre +2x +1 ?

[SoS-Math(11)]

C'est juste, au dénominateur garde \((x+1)^2\) au dénominateur puisque tu as un carré et que c'est toujours positif.

[laurine]

Pour la suite j'ai mis :
la fonction f est derivable donc elle est continue sur I
la fonction f est decroissante sur ]- infini ; + infini[
on calcule ensuite f(0) et f(4)
f(0)=0<8
f(4)=12,8>8

[SoS-Math(11)]

Ton affirmation : "la fonction f est decroissante sur ]- infini ; + infini[" est fausse et elle ne convient pas, il faut regarder entre 0 et 4 quel est le signe de \(f^,(x)=\frac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2}\).

Le reste est bon

[laurine]

Il est positif donc c'est croissant ?
Je fais quoi ensuite ?

[SoS-Math(11)]

Tu as les trois conditions :
\(f\) continue, \(f\) monotone croissante et \(f(0) < 8 < f(4)\)

Tu peux donc appliquer le théorème de la valeur intermédiaire qui te dit qu'il existe un seul nombre "\(a\)" tel que \(f(a) = 8\).

Conclus. Bonne fin d'exercice

[laurine]

D'apres le theoreme des valeurs intermediaires il existe un reel alpha tel que f(alpha)=8 sur [0 ; 4 ]
c'est juste sa la conclusion ?