Convertir l'écriture d'un nombre de base a en base 10

[Eric]

Bonjour, je suis actuellement bloquer à un exercice de Spé Math, pouvez-vous m'aider ? Voici l'exercice :

On note X(n)*X(n-1)*X(n-2)...X(1)*X(0) un nombre écrit en base a

a.Quelle condition doivent vérifier les X(i), pour 0=<i=<n, afin que cette écriture soit valide ?
b. Donner une formule permettant de convertir ce nombre en base 10

[SoS-Math(11)]

Bonjour Eric,

Dans la base \(a\) tu as a chiffres de \(0\) à \(a-1\), (en base 10 les chiffres vont de 0 à 9)déduis-en une condition sur les chiffres X(i).

Ensuite la valeur de \(5324\) écrit en base \(10\) est \(5\times 10^3+3\times 10^2+2\times 10^1 + 4 \times 10^0\) c'est pareil pour toutes les bases, déduis-en le moyen de convertir.

Bonne continuation

[Eric]

Après réflexion, je suis arriver à ces résultats

a. Donc 0=< X(i)=<a-1

b.Voilà, je pense donc que :

X(n)*X(n-1)*X(n-2)...X(1)*X(0) = X*a^n+X*a^n-1+X*a^n-2...X*a^1+X*a^0

[SoS-Math(11)]

Oui, cela me semble tout à fait correct à condition de ne pas oublier les indices : X(n)*a^n+X(n-1)*a^(n-1)+ ...

Bonne continuation

[Eric]

Merci pour votre aide :D

[Eric]

Bonsoir je dois effectuer l’inverse maintenant

Généralisation de l'algorithme:
Pour déterminer l'écriture en base a du nombre n, on effectue la division euclidienne de n par a, soit n=a*q(1)+r(1), puis on réitère le procédé avec q(1).On fabrique ainsi deux suites (Q(n)) et (r(n)).

a.Montrer que la suite (q(n)) est strictement décroissante.
b.On stoppe l'algorithme dès que le quotient est nul.Montrer que l'algorithme s'arrête nécessairement après un nombre n(0) d'étapes.
c Donner alors l'écriture du nombre n en base a
d. En déduire l'unicité de l’écriture en base a

a. q(n) est strictement décroissant car d'après la première étape ( n=a*q(1)+n(1)), on utilise q(1) pour renouveler l'étape soit q(1)=a(1)q(2)+r(2) donc q(2)<q(1), l'étape se répétant q(n) décroit.

je ne sait pas si cette explication suffit a répondre a la question ?

b.L'algorithme sarrette nécessairement après un nombre d'étape, dès que a(n)>q(n) en effet se cela se produit q(n) ne pourra pas être divisé par a(n)

c. Ici je bloque je ne sait pas si je doit remettre la formule du première exercice en l'inversant soit :X(n)*a^n+X(n-1)*a^n-1+X(n-2)*a^n-2...X(1)*a^1+X(2)*a^0=X(n)*X(n-1)*X(n-2)...X(1)*X(0) ou si je dois faire une nouvelle formul se basant sur n=a*q(1)+r(1)

d. je suppose qu'il faut d'abord réussir c. avant de pouvoir y répondre

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Eric,

a) C'est l'idée mais il faut que tu utilises \(q_{n+1}\) et \(q_n\) ainsi que le fait que tous les nombres sont entiers positifs et que a > 1....

b) C'est encore l'idée... Il faut encore utiliser le fait que \(q_n\) est une suite strictement décroissante d'entiers et que a > 1... Pousse cette idée un peu plus loin.

c) Refaire un nouvelle formule me semble plus simple.

d) En effet, le mieux est d'avoir cette formule au c)

Bon courage !

[Eric]

merci

[Gigaramti]

Moi je comprends pas le truc de généralisation de l''algorithme la j'ai besoin des conseils j'ai le même la
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
qu'est ce qu tu ne comprends pas exactement ? La généralisation de l'algorithme est le titre qui donne une idée de ce que l'on veut faire dans l'exercice.
Dans ta position d'élève, il faut seulement que tu résolves pas à pas les questions de l'exercice.
Merci de préciser où est ta difficulté.