Suite non majorée

[sos-math(20)]

Tu sais que \(u_ {n+1} = \frac{ {u_n} ^2} {u_n - 1}\). Que deviens cette égalité lorsque n tend vers \(+ \infty\) sachant que la suite u admet pour limite le réel l ?

SOS-math

[angel]

lim Un² = +infinie
lim Un-1 = + infinie car (Un) est minorée par 2
donc lim Un²/Un-1 est une forme indéterminée
en mettant un en facteur on obtient : Un / (1-1/Un)
or lim Un/ (1-(1/un)) = +infinie ?

[sos-math(20)]

Non Angel, ce n'est pas cela du tout.
Par exemple : lim Un² = l² puisque l'on a supposé que la suite u convergeait vers le réel l.

SOS-math

[angel]

donc lim Un²/(Un-1) = L²/(L-1) ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
On peut dire cela, et par ailleurs \(u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n-1}\) donc si \(u_n\to \ell\), alors on a aussi \(u_{n+1}\to\ell\).
Donc quand on passe à la limite, à gauche, on a \(\ell\) et dans le membre de droite, on retrouve ce que tu as dit dans ton message.
On obtient bien une équation d'inconnue \(\ell\).
Je te laisse la résoudre.

[angel]

bonsoir,
donc je dois résoudre un²/(un-1)=L²/(L-1)
Un²(l-1)=L²(un-1)
un²*l-un²=L²*un-L

[sos-math(20)]

Non Angel, l'équation que tu dois trouver ne comporte que l'inconnue l : relis bien les messages précédents, la réponse est dedans.

SOS-math

[angel]

donc puisque lim un =lim un+1=L
alors L=L²/(L-1)
L(L-1)=L²
L²-L=L²
0=L ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Angel,

Oui, on trouve L=0, ce qui est absurde !
En effet Un>= 2 pour tout n, donc si L existe, alors L>=2.

SoSMath.

[angel]

merci beaucoup donc on peut en conclure qu'elle ne peut pas converger et pourquoi pouvons nous dire quelle ne peut pas être majorée?

[sos-math(21)]

Tu as du démontrer que ta suite était croissante.
Si elle était majorée alors elle convergerait car toute suite croissante et majorée converge.
A toi de détailler.

[angel]

je sais que Un est croissante or une suite croissant est majorée par un réel "M" converge vers un réel "L" avec L<=M. Or cette suite ne converge pas donc elle n'est pas majorée. donc si je suit ce raisonnement la lim quand n tend vers +infinie de Un = + infinie ?

[sos-math(21)]

Une suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\).
Tu as raison.

[angel]

merci beaucoup de votre aide et de votre temps, je n'avais encore jamais essayé les forums et je constate qu'ils sont très efficace. Encore merci, Bonne soirée à vous