DM ≠ types de raisonnement par récurrence

[Margot]

Bonsoir, j'ai un DM à rendre. L'objectif de ce DM est de présenter 3 types de raisonnement par récurrence.

Le 1er est une démonstration avec une récurrence simple ( j'ai réussi) (tex)

Le 2ème est une démonstration avec 1 récurrence double: Montrer que pour tout n ∈N, (1+ 〖√2〗^n )+ (1- 〖√2〗^n )∈N
Initialisation: j'ai montré que Po est vraie; P1 est vraie.
Pour l'hérédité j'ai plus de mal... J'ai trouvé:
on suppose que la propriété est vraie à un rang n et à un rang n+1, n sup ou égal à O
soit: (1+ 〖√2〗^n )+ (1- 〖√2〗^n )∈N et (1+ 〖√2〗^(n+1) )+ (1- 〖√2〗^(n+1) )∈N

donc (1+ 〖√2〗^(n+2 )+ (1- 〖√2〗^(n+2) )= (1+ 〖√2〗^n ) (1+ 〖√2〗^(n+1) )+ (1- 〖√2〗^n )(1- 〖√2〗^(n+1) ) par hyp de vécu

puis je dire directement que (1+ 〖√2〗^n ) (1+ 〖√2〗^(n+1) )+ (1- 〖√2〗^n )(1- 〖√2〗^(n+1) ) ∈N ou alors comment puis je l'affirmer ?
Merci

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Margot,

Il y a un problème dans l'énoncé que tu proposes. (1+ 〖√2〗^n )+ (1- 〖√2〗^n ) = 2.... Est-ce \((1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \in \mathbb{N}\) ?

Revois ton énoncé et reporte ta question.
À bientôt

[margot]

oui c'est cela désolée. Il y avait une erreur
Merci