Exercice

[Justine]

Bonjour,

Enoncé: On considère un trapèze ABCD tel due (AB)//(CD). On note O le point d'intersection des droites (AD) et (BC), K le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD] et I et J les milieux respectifs des cotés [AB] et [CD].
On sait que A(-2;2), B(3;2), C(5;5), D(-3;5), I(0,5;2), J(1;5), K(9/13;41/13) et O(-3/9;-3).

Question 1 : On se place dans le repère (O; \(\overrightarrow{OA}\); \(\overrightarrow{OB}\)).
a.) Déterminer les coordonnées du point I.
On a A(1;0) et B(0;1), soit AB( -1;1), donc I(0,5;0,5)
b.) Déterminer une équation de la droite (OI).
Je ne sais pas quels vecteurs je dois faire intervenir dans l'équation par rapport à la droite (OI) ? vecteur AI et vecteur AB ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans ton repère, la droite (OI) est une droite passant par l'origine donc son équation est de la forme \(y=ax\).
A toi de trouver \(a\) en calculant : \(a=\frac{y_I-y_O}{x_I-x_O}\).
Bon courage

[Justine]

a)
a= (Yi +3)/ (Xi+3/9)
a= 3/(3/9)
a=9

Soit y= 9x
Donc I(0;9) ?

Cordialement.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Justine,

Je ne comprends pas tes calculs, tu es dans le repère \((O; \overrightarrow {OA}; \overrightarrow {OB})\).
Les coordonnées données dans le a) sont justes, ce sont celles là qu'il faut utiliser.

Revois tes calculs avec les bonnes coordonnées.

Bon courage

[Justine]

Bonsoir,

a)
a= (Yi -Yo)/ (Xi -Xo)
a= (2+3)/(0,5+3/9)
a=6

Soit y= 6x

Cordialement.

[SoS-Math(11)]

Tu utilises toujours les coordonnées données au départ pas celles déterminées au a) : O(0 ; 0) , A(1 ; 0) , B(0 ; 1) et I(0,5 ; 0,5).
Cependant ton résultat est juste y = 6 x dans le repère donné avec les coordonnées données.

Dans le repère \((O; \overrightarrow {OA}; \overrightarrow {OB})\) tu as donc \(a=\frac{y_I-y_O}{x_I-x_O}\)\(=\frac{0,5 - 0}{0,5 - 0}= ...\).


Bonne continuation

[Justine]

Excusez-moi j'avais mélangé les questions ...

a) On a A(1;0) et B(0;1), soit AB( -1;1), donc I(0,5;0,5)

b) a= (yI-yO) / (xI-xO) = (0,5 - 0) / (0,5 - 0)= 1
Donc y=x

Cordialement.

[SoS-Math(11)]

C'est bien.

Bonne continuation

[Justine]

Bonjour,

c) Montrer que J appartient à (OI). (Je ne sais pas comment m'y prendre).
d) Justifier qu'il existe un réel alpha tel que \(\overrightarrow{OD}\)= alpha\(\overrightarrow{OA}\). (Voir fichier joint)
e) Prouver que \(\overrightarrow{OC}\)= alpha\(\overrightarrow{OB}\). (Voir fichier joint)


Cordialement.

[Justine]

Bonjour,

Pour le c) j'ai commencé par faire une équation cartésienne de la droite (OI)...

M(x;y) E (OI) <=> OM (x+3/9;y+3) et OI (5/6;5) sont colinéaires.
<=> 5(x+3/9) - 5/6(y+3)=0
<=> 5x+5/3 - 5/6y -5/2=0
<=> 5x-5/6y-5/6=0

Cordialement.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Justine,

Ton raisonnement semble correct en revanche :

es-tu sure des coordonnées de OI ?

Il me semble que la consigne est :

Question 1 : On se place dans le repère (O; \(\overrightarrow{OA}\); \(\overrightarrow{OB}\)).

Donc pourquoi ne pas utiliser les coordonnées des points dans ce repère ?

Bon courage !

[Justine]

Bonjour,

Les coordonnées de I sont (0,5;0,5).
Pour ceux de O ce sont (-3/9;-3) ? Je ne trouve pas pour O

Cordialement.

[Justine]

M(x;y) E (OI) <=> OM (x+3/9;y+3) et OI (5/6;3,5) sont colinéaires.
<=> 3,5(x+3/9) - 5/6(y+3)=0
<=> 3,5x+7/6 - 5/6y -5/2=0
<=> 3,5x-5/6y-4/3=0

Mais cela ne prouve pas que J appartient à (OI) ?

Cordialement.

[SoS-Math(25)]

Le point O est l'origine du repère (O; \(\overrightarrow{OA}\); \(\overrightarrow{OB}\)).

Donc ses coordonnées dans ce repère sont simplement (0;0)..

Le point J appartient à la droite (OI) si :

\(\overrightarrow{OJ}\) et \(\overrightarrow{OI}\) sont colinéaires ou encore,

les coordonnées de J vérifient l'équation de la droite (OI).

Attention aux coordonnées de \(\overrightarrow{OI}\) ! Tu utilises les coordonnées de O dans le repère d'origine et les coordonnées de I dans le repère (O; \(\overrightarrow{OA}\); \(\overrightarrow{OB}\))... Cela ne peut pas coller !

Détaille bien tes calculs pour les coordonnées des vecteurs \(\vec{OM}\) et \(\overrightarrow{OI}\).

Bon courage !

[Justine]

M(x;y) E (OI) <=> OM (x+0;y+0) et \(\overrightarrow{OI}\) (xI-xO; yI-yO) <=> \(\overrightarrow{OI}\) (0,5;0,5) sont colinéaires.

<=> 0,5(x+0)-0,5(y+0)=0
<=>0,5x-0,5y=0

Cordialement.