Math les suites, DM A RENDRE pour Jeudi

[lillyaurore]

Bonjour j'ai un Dm de math.. je n'arrive pas à le commencer

Enoncé: Tice
le but de cet exercice est d'étudier l'évolution d'une population d'oiseaux.
Pour tout entier naturel n, on note Un le quotient de la population à la génération n par rapport à une population maximale estimée.
On admet que l'évolution d'une génération obéit la relation Un+1 = KUn (1-Un) où K est appelé facteur de croissance qui dépend de l'environnement.
Nous allons étudier le comportement de la suite (Un) pour différentes valeurs de k et Uo

Cas n°1 : Uo E [0;1] et K E [0;1]
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0≤ Un ≤ K^n
2. En déduire que la suite (Un) converge, et déterminer sa limite


Cas n°2 : Uo=0.1 et K=1.9
1. a) Présenter graphiquement les premiers termes de la suite (Un)
b) Quelle conjoncture peut-on émettre quand à la convergence de la suite (Un)

2. On considère la fonction f définie sur [o;1] par f(x)=1.9x(1-x)
a) Etudier les variations de f sur [0;1]
b) en désuire que, si x E [0; (1/2)] alors f(x) E [0; (1/2)]

3. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ (1/2)
b) En déduire que la suite (Un) converge et déterminer sa limite

Cas n°3 : uo=0.1 et K=5
1. a) A l'aide d'un tableur peut-on émettre quand à la convergence de la suite (Un)?
b) Quelle conjecture peut-on émettre quant à la convergence de la suite (Un)?

2. a) déterminer un entier P tel que Up < 0
b) Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ P, Un <0.
c) En déduire que la suite (Un) est décroissante à partir du rang P

3.a Démontrer que la suite (Un) n'est pas minorée
b) Démontrer la conjecture de la question 1.b)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il faut nous dire ce que tu comprends de l'énoncé ; nous ne ferons pas l'exercice à ta place, il faut donc que tu aies cherché un peu.
Pour le début, il faut faire une récurrence : tu auras sûrement à utiliser dans l'hérédité, le fait que \(u_n\in[0;1]\), cela te permettra de passer au rang n+1
Pour la limite il suffit de regarder \(\lim_{n\to+\infty}K^n\), avec \(0<K<1\) (cela doit te rappeler les suites géométriques) et d'appliquer le théorème des gendarmes.
Fais déjà cela.

[lillyaurore]

Je sais très bien que c'est moi qui le ferai,
mais comme je vous dis je bloque sur le début.
Le fait que Uo ne soit pas un nombre fixe mais un intervalle me dérange dans l'initialisation
Un+1 = KUn (1-Un)
Pn+1 "Un+1 = KUn (1-Un)"
Pn+2 "Un+2 = Kun+1 (1-Un+1)"
P1 " U1 = KUo (1-Uo)"

Initialisation
Pn+1 "Un+1 = KUn (1-Un)"
P1 " U1 = KUo (1-Uo)"
-> Il faut dire que P1 est vraie.. mais comment je démontre ça...

Puis l'hérédité, Supposons que Pn+1 est vraie, Montrons que Pn+2 "Un+2 = Kun+1 (1-Un+1)"
-> Puis je fais mon hérédité.. mais je bloque avec les intervalles!
Avec un nombre fixé c'est plus simple

[sos-math(21)]

\(U_0\) n'est pas un intervalle mais un nombre fixé dans l'intervalle [0;1].
Démontre par récurrence la propriété \(P_n" 0\leq Un \leq K^n"\)
Au rang n=0 :
on remplace n par 0, on a \(K^0=1\), donc \(0\leq U_0\leq K^0\) et la propriété est vraie au rang 0.
On considère un entier n quelconque tel que \(P_n\) soit vraie.
On veut montrer \(P_{n+1}\)
\(U_{n+1}= KU_n (1-U_n)\), comme \(0\leq K\leq 1\), on utilise la propriété vraie au rang n pour affirmer que \(0\leq U_n\leq 1\), donc \(1-U_n\leq 1\)
ainsi \(0\leq U_{n+1}\leq \underbrace{KU_n\leq K\times K^n}_{\mbox{hyp. de recurrence}}\leq K^{n+1}\) et on a prouvé \(P_{n+1}\)
Il te reste à conclure.
A toi de poursuivre.

[madeleine]

bonjour,
notre professeur de mathématiques nous a donné le même exercice.
j'ai réussi à faire le cas 1 et le cas 2 mais je n'arrive pas à faire celui du cas 3.
j'ai calculé les 4 premiers termes:
U0=0.1
U1=0.45
U2=1.2375
U3=-1.469
U4=-18.14
je ne trouve pas de convergence à conjecturer.
pouvez-vous m'aider svp?
puis nous donnez des pistes de recherches pour le 2.a?
merci d'avance ! :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour émettre une conjecture sur la convergence, il faut que tu calcules plus de termes d'où la nécessité de recourir au tableur pour calculer une cinquantaine de termes afin de voir une évolution sur le long terme.
Au travail

[madeleine]

j'ai suivis votre conseil, mais le tableur de ma calculatrice ti-82 n'affiche pas tous les résultats. Elle affiche "erreur" à partir du 10e terme (de même pour une autre calculatrice casio).
U9=-2e62
donc je pensais mettre que la suite(Un) converge vers moins l'infini ou qu'elle ne convergeait pas du tout.
merci de m'éclairer

[sos-math(21)]

Pour des calculs de cette ampleur, il faut passer à un tableur sur ordinateur : Excel ou open office calc.
A ton pc!
Bon travail

[matheux]

bonjour, moi aussi j'ai ce dm a faire et n'arrive pas a faire la première question non plus. J'arrive a une inéquation de 6 termes qui ne me donne rien de spécial

[sos-math(20)]

Merci de créer votre propre message sinon les réponses se télescopent.

Bonne journée.

SOS-math

[mathilde]

Je n'arrive pas non plus à cette question!! help me please!!
D'apres moi, la suite ne converge pas, elle diverge vers moins l'infini, mais est ce possible??

[SoS-Math(25)]

BONJOUR Mathilde,

Quelle est ta question exactement ?

A bientôt !