Exercice sur les suites

[Sam]

Bonjour, j'ai un exercice a faire en maths et je bloque un peu :
Soit (Un )n∈N une suite définie par u0=1 et la relation de récurrence Un+1= √(6+Un ) .
1. a) Montrer que pour tout n∈N, 0≤Un≤3
b) Montrer que la suite (Un) est croissante
c) En déduire que la suite (Un) converge. On appelle l sa limite. Donner un encadrement de l
d) En étudiant de deux manières la limite de la suite (f(Un)), montrer que f(l)=l puis en déduire l.
2. Il est possible d'obtenir le résultat précédent d'une autre manière.
a) Montrer que, pour tout n∈N, 3 - Un+1 ≤ 1/4 (3- Un).
b) En déduire, pour tout n∈N, 0 ≤ 3 - Un ≤ 2/4n. Retrouver le résultat du 1 d)

J'ai réussi la 1 a) b) c) mais à la d) je bloque je ne vois pas quelles sont les "deux manières"

Merci d'avance !

[sos-math(12)]

Bonsoir :

Je suppose que la fonction f est la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{x}\).

Une méthode consiste à étudier la suite \((v_n)\) définie par \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \(v_n=u_{n+1}=f(u_n)\) et montrer qu'elle a la même limite que la suite \((u_n)\).

Bonne continuation.

[Sam]

J'ai donc calculer f(3)=3, sa me semble être la première méthode...
Mais comment faire pour la deuxième et surtout comment montrer que f(l)=l ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu as \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{6+x}\).
Si \(u_n\to \ell\) lorsque \(n\to+\infty\), alors par continuité de la fonction \(f\), \(f(u_n)\to f(\ell)\) lorsque \(n\to+\infty\).
Or si \(u_n\to \ell\) lorsque \(n\to+\infty\), alors on a évidemment aussi \(u_{n+1}\to \ell\) lorsque \(n\to+\infty\).
Je te laisse conclure en reprenant l'égalité \(u_{n+1}=f(u_n)\) et en passant à la limite.
Pour trouver les valeurs possibles pour la limite, il faut résoudre \(f(\ell)=\ell\), soit \(\sqrt{\ell+6}=\ell\).
Bon calcul.

[Sam]

Merci, j'ai donc continué l'exercice, j'ai réussi la 2)a) grace à la quantité conjuguée, puis la 2)b) avec un raisonnement par récurrence mais je bloque à l'ultime affirmation : "retrouver le résultat du 1)d)..

[sos-math(21)]

Si tu as prouvé que pour tout entier n, on a :
\(0\leq 3-u_n\leq \frac{2}{4^n}\),
alors il te reste à appliquer un théorème sur les limites : le théorème des gendarmes qui s'énonce ainsi :

On considère trois suites réelles \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\)
telles que\(u_n\leq v_n\leq w_n\) pour tout \(n\) .
Si les suites \((u_n)\) et \((w_n)\) sont convergentes et de même limite \(\ell\),
la suite \($(v_n)$\) converge aussi vers \($\ell$\).

Bon courage

[Sam]

Si j'applique ce théorème, je trouve que (Un) et (Wn) convergent vers 0 ainsi (Vn) converge vers 0, or (Vn)= 3-Un donc Un converge vers 3, c'est bien cela ?

[sos-math(21)]

C'est cela et tu dois retrouver la réponse de la question 1.
Bonne conclusion.

[Sam]

Parfait, merci beaucoup !