Exercice sur les complexes

[Sophie]

Bonjour, je suis en prépa ATS (post-DUT) et notre programme de maths est sensiblement le même que celui de terminale avant 2012. J'ai un devoir à faire pendant les vacances, et sur un exercice sur les complexes une question me pose soucis.

Je vous met l'énoncé de l'exercice et ce que j'ai fait :

a désigne un nombre réel. Soit le nombre complexe A=(3+2i)/(a+9i)
1) Déterminer a pour que A soit réel
2) Déterminer a pour que A soit imaginaire pur
3) Déterminer a pour que 10AA=1

Alors les deux premières questions sont très simples, mais je bloque à la 3ème.
J'ai développé 10AA et j'ai trouvé (50+120i)/(a+9i)²
10AA doit être égal à 1, alors j'ai fait : (a+9i)²=50+120i

Et là j'ai essayé plusieurs méthode qui me donne plusieurs a mais en remplaçant aucun de ces a ne me donne 10AA=1

J'ai tout d'abord fait : a²+18ai-81=50+120i et comme a²-81 sont réels et 18ai est un imaginaire pur, j'ai dit que
a²-81=50
18ai=120

Et là j'obtiens a=-√131 ou a=√131 et pour l'autre a=20/3

J'ai alors essayé par le module : I(a+9i)²I=√(50²+120²) <=> Ia+9iI²=130 <=> a²+9²=130 (car Iz²I=IzI²=z * zbarre =x²+y²)
<=> a²=49 d'où a=7 ou a=-7

J'ai donc 5 solutions : -√131 ; √131 ; 20/3 ; -7 ; 7 ; sauf que dès que je remplace avec ma calculatrice par une de ces solutions je trouve que 10AA est égal à des nombres (complexes ou réels) tous différents de 1 !

J'aimerai bien savoir où est mon erreur ?! Ou quelle méthode prendre ?
Le DM n'étant pas noté je pourrais attendre le corrigé, mais j'aime pas resté bloquée sur une question comme ça qui m'avait l'air pourtant simple !!

[sos-math(21)]

Bonjour,
normalement, ce forum est réservé aux lycéens et collégiens....
Je ne comprends pas ta notation 10AA, c'est bien \(10\times A\times A\) ?
Si on repart de ton équation : a²+18ai-81=50+120i, tu as alors \(a^2+18i\times a+(-120i-131)=0\)
Cela te fait une équation du second degré à coefficients complexes qu'il faut résoudre en commençant de la même manière : \(\Delta=....\)
Bon courage

[Sophie]

Etant donné que le programme de maths et le même qu'en terminale S, je me permet de postuler ici.

Oui c'est bien 10xAxA dans l'énoncé. Sauf que je ne peux pas faire avec le discriminant étant donné que les coefficients a, b et c ne sont pas tous réels, par exemple 18i !

Cette question est particulièrement bizarre...

[sos-math(21)]

Tu n'as pas vu les équations du second degré à coefficients complexes ?
C'est vrai que c'est mal parti.
Pars alors de \(10A^2=1\) donc en prenant les modules \(10|A|^2=1\), on a donc \(10\times \frac{13}{a^2+81}=1\), je te laisse terminer.
Bons calculs

[Sophie]

Non, on ne voit pas la méthode avec le discriminant avec des coefficients complexes.

Avec votre méthode je trouve a=7 ou a=-7 comme j'avais trouvé hier, sauf qu'en remplaçant le a dans notre première équation 10A² je ne trouve pas 1...

J'ai utilisé une autre méthode, avec un système en disant que 50+120i=(x+yi)² et une fois avoir trouvé x=3√10 ou x=-3√10 et y=2√10 ou y=-2√10 ; du coup j'ai pris un x et un y et j'ai dis : 3√10+2√10i=a+9i
j'ai alors trouvé une solution pour celle-ci a=3√10+(2√10-9)i

Le problème c'est que dans l'énoncé on dit que a est un nombre réel, et moi je le trouve ici complexe, pourtant quand je le remplace dans l'équation 10A² je trouve que ça fait 1 ! Je ne sais plus quoi faire...

[sos-math(21)]

Bonjour,
On est bien d'accord, on peut donc en conclure qu'il n'y a pas de solution.
En effet si a est solution alors l'égalité est vraie en modules et cela implique que \(a=\pm 7\).
On a donc trouvé les seuls candidats possibles pour \(a\).
Il reste à vérifier que ces candidats sont solutions.
En remplaçant \(a\) par ces valeurs dans \(10AA\), on n'obtient pas 1, ce qui prouve qu'il n'y a pas de solution.
On pouvait aussi raisonner en disant que \(10A^2=1\) implique que \(A^2\) doit être réel et on aboutissait au même problème.
Bonne conclusion