Produit Scalaire 2

[Solsha]

Bonjour,

Je bloque sur la fin d'un exercice sur le produit scalaire.

Dans un repère orthonormé (O,i,j) d'unité graphique 1cm,on donne les points A(-1;2), B(1;3) et C(3;-1).

Dans les questions précédentes, on a démontré que ABC était un triangle rectangle, déterminé une équation de son cercle circonscrit, précisé les coordonnées de son centre K et de son rayon R, déterminé une équation de la tangente au cercle en A.

4) Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Sans chercher à calculer les coordonnées du point H dans (O,i,j), établir les relations :

vecAB.vecAC = vecAB² = AH x AC

J'ai réussi à établir que vecAB.vecAC = AH x AC mais comment faire pour vecAB ² ? J'ai essayé avec la relation de Chasles sans succès ...

5)Déterminer la nature de l'ensembe (E) des points M du plan qui vérifient vecAM.vecAC = 5

J'ai calculé les coordonnées de vecAM et de vecAC pour tenter de trouver une équation cartésienne mais je me retrouve avec un résultat incohérent :

vecAM(x+1;y-2)

vecAC (4;-3)

4(x+1)+(-3)(y-2) = 0
4x+4-3y+6=0
4x-3y+10=0

Merci d'avance pour votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu sais que le produit scalaire peut s'écrire : \(\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}\times \overline{AH'}\), où H' est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
Qui est H' ?
Pour la 5ème, c'est un travail correct pour l'instant, il faut juste reconnaitre la nature de l'ensemble décrit par cette équation cartésienne : c'est de la forme \(ux+vy+w=0\), essaie de l'écrire sous la forme \(y=ax+b\) !
Bons calculs

[Solsha]

H' est B ?

Donc vecAB.vecAC = vecAB*.(vecAC+vecCB) =vecAB² ?

[Solsha]

Pour la 5, Je trouve donc y = 4/3x + 10/3, c'est cela ?

[sos-math(21)]

En effet, H' est B, car le triangle est rectangle en B.
Tu aurais effectivement pu aussi partir du produit scalaire et utiliser la relation de Chasles : \(\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}.(\vec{AB}+\vec{BC})\) puis développer.
Pour l'équation, tu as juste et cette équation est l'équation d'une ....
Bonne conclusion.

[Solsha]

C'est l'équation d'une droite qui représente l'ensemble (E) ?

[Solsha]

"Déterminer la nature de l'ensembe (E) des points M du plan qui vérifient vecAM.vecAC = 5"

Je ne comprends pas ce que j'ai mis en gras ...

[sos-math(21)]

Je reprends :
"Déterminer la nature de l'ensembe (E) des points M du plan qui vérifient \(\vec{AM}.\vec{AC}=5\)"
C'est bien une droite.
Je ne vois pas où est le problème

[Solsha]

Pourquoi = 5 ?

Et comment tracer la droite dans le repère ?

[sos-math(21)]

Effectivement, on a oublié quelque chose :
L'énoncé disait :

5)Déterminer la nature de l'ensembe (E) des points M du plan qui vérifient vecAM.vecAC = 5

On avait fait vecAM.vecAC = 0
Donc il faut bien calculer \(\vec{AM}.\vec{AC}=5\) soit \(4(x+1)-3(y-2)=5\) : je te laisse reprendre les calculs.
Bon courage

[Solsha]

Je trouve y = 4/3x -5/3

[sos-math(21)]

Es-tu sûr(e) de ton signe pour 5/3 ?

[Solsha]

Oups, merci !

[Solsha]

On a donc y = 4/3x + 5/3

Comment tracer cette droite ?

[sos-math(21)]

Pour tracer une droite, il te faut deux points :
il y en a un qui est facile à placer : c'est l'ordonnée à l'origine, si \(y=ax+b\) alors la droite passe par le point \((0\,;\,b)\) : je te laisse appliquer cela pour ta droite ;
pour un deuxième point, on choisit une valeur de x et on calcule la valeur de y associée grâce à l'équation.
Je te laisse faire.