Bonsoir
Je suis bloquée à la question 2)
Voici l'exercice :
1) Soit f la fonction qui, à tout x positif ou nul, associe f(x)=sinx-x
a) Montrer que f est dérivable et que sa dérivée est toujours négative et nulle.
b) En déduire le sens de variation de f.
c) Prouver que : pour tout x \(\in\) [0;+\(\infty\)[ on a sinx\(\leq\)x
2) Par une démarche analogue vous déterminerez le signe, pout tout x \(\in\) [0;+\(\infty\)[, de g(x)=cosx+\(\frac{x^2}{2}\)-1
En déduire, pour tout x \(\in\) [0;+\(\infty\)[, un polynôme minorant cosx.
Pour le signe de g(x) : positif pour ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0.
Merci d'avance.
Emilie
encadrer sin x par 2 polynômes pour tout x positif
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SoS-Math(9)
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Re: encadrer sin x par 2 polynômes pour tout x positif
Bonsoir Emilie,
Pour la question 2) il faut faire comme la question 1) !
a) dériver la fonction g et étudier le signe de la dérivée (il faut utiliser la question 1))
b) sens de variation de g
c) en déduire le signe de g, puis l'inégalité demandé.
Bon courage,
SoSMath.
Pour la question 2) il faut faire comme la question 1) !
a) dériver la fonction g et étudier le signe de la dérivée (il faut utiliser la question 1))
b) sens de variation de g
c) en déduire le signe de g, puis l'inégalité demandé.
Bon courage,
SoSMath.
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Invité
Re: encadrer sin x par 2 polynômes pour tout x positif
Bonjour
Voici ce que j'ai fait :
g'(x)=-sinx+1/2\(\times\)2x=-sinx+x=-f(x)
signe de f(x) : négatif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
signe de g'(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
Donc g est strictement croissant sur [0;+\(\infty\)[
Signe de g(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
g(x)\(\geq\)0
cosx+\(\frac{x^2}{2}\)-1\(\geq\)0
cox\(\geq\)+\(\frac{-x^2}{2}\)+1
Est-ce juste ?
Voici la suite de l'exercice :
3) Soit h la fonction qui, à tout x positif ou nul, associe h(x)=sinx-x+\(\frac{x^3}{6}\)
a) Montrer que h est dérivable et que sa dérivée est g.
b) Déterminer le sens de variation puis le signe de h.
c) Déduire de l'ensemble des résultats un encadrement, pour tout x positif, de sin x par 2 polynômes.
3)a) h'(x)= cosx-1+\(\frac{x^2}{2}\)=g(x)
b) h est strictement croissante sur [0;+\(\infty\)[
signe de h(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
Pour la question 3)c) je n'ai trouvé qu'un seul polynôme.
h(x)\(\geq\)0
sinx-x+\(\frac{x^3}{6}\)\(\geq\)0
sinx\(\geq\)x-\(\frac{x^3}{6}\)
Merci de votre aide.
Emilie
Voici ce que j'ai fait :
g'(x)=-sinx+1/2\(\times\)2x=-sinx+x=-f(x)
signe de f(x) : négatif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
signe de g'(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
Donc g est strictement croissant sur [0;+\(\infty\)[
Signe de g(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
g(x)\(\geq\)0
cosx+\(\frac{x^2}{2}\)-1\(\geq\)0
cox\(\geq\)+\(\frac{-x^2}{2}\)+1
Est-ce juste ?
Voici la suite de l'exercice :
3) Soit h la fonction qui, à tout x positif ou nul, associe h(x)=sinx-x+\(\frac{x^3}{6}\)
a) Montrer que h est dérivable et que sa dérivée est g.
b) Déterminer le sens de variation puis le signe de h.
c) Déduire de l'ensemble des résultats un encadrement, pour tout x positif, de sin x par 2 polynômes.
3)a) h'(x)= cosx-1+\(\frac{x^2}{2}\)=g(x)
b) h est strictement croissante sur [0;+\(\infty\)[
signe de h(x) : positif sur ]0;+\(\infty\)[ et nul quand x=0
Pour la question 3)c) je n'ai trouvé qu'un seul polynôme.
h(x)\(\geq\)0
sinx-x+\(\frac{x^3}{6}\)\(\geq\)0
sinx\(\geq\)x-\(\frac{x^3}{6}\)
Merci de votre aide.
Emilie
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SoS-Math(9)
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Re: encadrer sin x par 2 polynômes pour tout x positif
Bonjour Emilie,
Ton travail semble juste.
Pour la question 3c), tu as déja trouvé une fonction qui majore sin(x) à la question 1.
donc tu as ton encadrement.
SoSMath.
Ton travail semble juste.
Pour la question 3c), tu as déja trouvé une fonction qui majore sin(x) à la question 1.
donc tu as ton encadrement.
SoSMath.