exercices

[maxime]

bonjour a tous,

Alors pour demain j'ai deux exercices a faire et j'aimerais avoir votre aide :

Exercice 1 : Pour chacune des suites ci-dessous :
-calculer les premiers termes de la suite
-conjecturer une expression de un en fonction de n
-démontrer cette conjecture par récurrence.
a)un est la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=4un-3n-2
b)(un)est la suite définie par u0=4, et pour tout entier naturel n, un+1=racine carre de 1+un2

Exercice 2 : (un)est la suite définie par u0=3, u1=15 et pour tout entier naturel n, un+2=3un+1+10un

a)demontrer que pour tout entier naturel n, un+1=5un
b)donner la nature de la suite (un)puis l'expression de un en fonction de n.

Ou j'en suis ? j'arrive a peu pres a calculer les premiers termes de la suite a de l'exercice 1 mais pour le reste je ne comprends pas vraiment pas, c'est donc pour sa que je suis sur ce forum, j'espere pouvoir bénéficier de votre aide

Merci beaucoup a tout ceux qui me proposeront leur aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour Maxime,

Si tu as calculé les quatre premiers termes de la suite, tu dois t'apercevoir qu'il y a une relation toute simple entre \(u_n\) et \(n\).

C'est cette relation que tu dois démontrer par récurrence.

Procède de même avec l'autre suite, pense que \(4=\sqrt{16 + 0}\).

Bonne continuation

[maxime]

je vais déjà vérifier mes réponses :

je trouve : u0=1
u1=2
u2=3
u3=4

C'est juste ?

[SoS-Math(11)]

Oui, maintenant regarde le lien entre l'indice du terme et le nombre que tu as trouvé. Démontre qu'il en est toujours ainsi.

[maxime]

je dois démontrer que la suite est croissante et de raison 1 ?

[SoS-Math(11)]

Non, ce que tu dis est vrai mais la question est de trouver une expression qui te donne u_n en fonction de n, cette expression est évidente d'après tes calculs :
\(u_0 =1\) ; \(u_1 = 2\) ; \(u_3=4\) en observant ces valeurs peux-tu compléter \(u_{50} = ???\).
Donne alors l'expression cherchée.

[maxime]

un=n+1 ?

[SoS-Math(11)]

Oui tout à fait, il te reste à le démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), tu as \(u_n = n+1\) :
Initialisation : ...
Hérédité ; ...

Bon courage, ces calculs et raisonnement sont assez simples.

[maxime]

alors, je vais procéder par étape :

Initialisation: pour n=1, on a : u1=4x1-2=2 et u0=1 donc un=un+1
La propriété est donc vraie au rang n+1

C'est juste ?

[SoS-Math(11)]

Non, tu initialise à 0 : As-tu \(u_0 = 0 + 1\) ?

Si oui c'est initialisé.

Ensuite l'hérédité commence par une hypothèse de récurrence.

[maxime]

pour l'initialisation je mets :

pour n=0 on a : u0=0+1. donc la propriété est vraie au rang n=0

C'est juste ? ensuite pour l'hypothèse de récurrence je mets : on suppose que au rang k>0 on a un=un+1 ?

[SoS-Math(11)]

Oui, mais c'est \(u_k= k + 1\) pour un indice \(k\)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
C'est cela et tu pars ensuite de \(u_{n+1}=4u_n-3n-2\) et tu utilises l'hypothèse de récurrence.
Bon courage

[maxime]

Heredite : un+1=:-4un-3n-2 or uk=k+1

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Maxime,

Tu cherches à démontrer que \(u_{k+1}=(k+1)+1\).

Pour cela tu parts de \(u_{k+1}=4u_{k}-3k-2\) et tu utilises ton hypothèse de récurrence à savoir que \(u_{k}=k+1\)

Bon courage.