Les suites

[Marion]

Bonjour
J'ai un devoir maison pour lequel je bloque un peu

Soit le suite (Un) définie sr l'ensemble des entiers naturel N par Uo=2 et pour tout entier naturel n, U(n+1) = (1/5)Un +3*0.5^(n)

1.a/ Recopier et à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (Un) approchées à 10^(-2) près
b/ D'après ce tableau énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (Un)
2.a/ Démontrer par récuernce que pour tout entier natureln non nul on a Un>15/4 * 0.5^(n)

Jusqu'ici j'ai réussi

2.b/ En déduire que, pour tout entier naturel n non nul U(n+1) - Un < 0
C/ Démontrer que la suite (Un) est convergente [Je pense réussir cette question après avoir compris la réponse précédente

3.a/ Soit (Vn) la suite définie sur N par Vn= Un-10*0.5^(n)
Démontre que la suite (Vn) est une suite génoùétoque de raison. On précisera le premier terme de la suite (Vn)
[J'ai calculer Uo ; U1 ; U2 Puis calculer (V1)/(V0) puis (V2)/(V1)
J'ai essayer V(n+1)=U(n+1) -10*0.5^(n+1) ]

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Marion,

Tu y es presque !

Qu'as tu trouvé prouvé pour \(~\frac{V_1}{V_0}\) et \(~\frac{V_2}{V_ 1}\) ?

Pour montrer que la suite (Vn) est géométrique, tu dois appliquer le même raisonnement avec \(~V_{n+1}\) et \(~V_{n}\).

Bon courage !

[Marion]

Bonjour,

Alors pour (V1/V0) = 0.2 et (V2/V1) = 0.2 [en arrondissant]

Ensuite V(n+1) = U(n+1) -10*0.5^(n+1)
Or U(n+1) = 1/5*Un+3*0.5^(n)

Donc: V(n+1)=1/5*Un+3*0.5^(n) - 10 * 0.5^(n+1)

Je suis donc bloquer ici, et quand à la question 2.b) auriez vous une aide pour que je puisse comprendre

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marion,

Question 2b :
Calcule \(u_{n+1}-u_{n}\) en fonction de \(u_{n}\) et n.
Puis utilise la question 2a ...

Question 3 :
Tu as trouvé V(n+1)=1/5*Un+3*0.5^(n) - 10 * 0.5^(n+1)
Je te donne un indice pour te débloquer : 0.5^(n+1) = 0,5 * 0.5^(n)

SoSMath.

[Lucie]

Bonjour,
J'ai le même devoir maison à faire avec des questions en plus.
3)b. En déduire, que pour tout entier naturel n,
Un=-8*(1/5)^n +10*0,5^n

c. Déterminer la limite de la suite (Un).
4) Recopier et compléter les ligne (1) , (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche la plus petite valeur de n telle que Un inférieure ou égale à 0,01
Pour ce qui est de l'algorithme, je pense y arriver seule.

Mon problème étant pour la question 2.a du dm ou l'on doit démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul on a : Un>15/4 * 0.5^(n)

J'ai commencé avec la méthode: Initialisation- hérédité et pour la démonstration je suis bloquée...
J'ai fait:
Sachant que Un+1=(1/5)Un+(3*0,5^k)
Un> (15/4)*0,5^k
(1/5)Un> (1/5)*(15/4)*0,5^k (On multiplie l'inéquation par 1/5 )
(1/5)Un+(3*0,5^k) > (3/4)*0,5^k+(3*0,5^k) (On ajoute (3*0,5^k)

Et après je suis bloquée.. TwT

[Lucie]

Bonjour,
J'ai le même devoir maison à faire avec des questions en plus.
3)b. En déduire, que pour tout entier naturel n,
Un=-8*(1/5)^n +10*0,5^n

c. Déterminer la limite de la suite (Un).
4) Recopier et compléter les ligne (1) , (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche la plus petite valeur de n telle que Un inférieure ou égale à 0,01
Pour ce qui est de l'algorithme, je pense y arriver seule.

Mon problème étant pour la question 2.a du dm ou l'on doit démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul on a : Un>15/4 * 0.5^(n)

J'ai commencé avec la méthode: Initialisation- hérédité et pour la démonstration je suis bloquée...
J'ai fait:
Sachant que Un+1=(1/5)Un+(3*0,5^k)
Un> (15/4)*0,5^k
(1/5)Un> (1/5)*(15/4)*0,5^k (On multiplie l'inéquation par 1/5 )
(1/5)Un+(3*0,5^k) > (3/4)*0,5^k+(3*0,5^k) (On ajoute (3*0,5^k)

Et après je suis bloquée..

Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lucie,

tu es bien parti même tu mélange n et k ...

Tu as bien : \(\frac{1}{5}u_{n}+3\times 0,5^n > \frac{3}{4}0,5^n+3\times 0,5^n\)
soit \(u_{n+1} > \frac{3}{2}\times 0,5 \times 0,5^n+6\times 0,5\times 0,5^n\) (en effet 3/4 = 3/2 * 0,5 et 3 6*0,5)
soit \(u_{n+1} > \frac{3}{2} \times 0,5^{n+1}+6\times 0,5^{n+1}\)
soit \(u_{n+1} > (\frac{3}{2}+6)\times 0,5^{n+1}\)
soit \(u_{n+1} > \frac{15}{2}\times 0,5^{n+1} > \frac{15}{4}\times 0,5^{n+1}\) car \(\frac{15}{2}> \frac{15}{4}\)

SoSMath.

[Lucie]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse! Oui c'est pour Uk, je me suis rendue compte de l'erreur après avoir posté, vous m'en voyer désolée. Je crois avoir à peu près compris, mais pas pour la première ligne qui est

soit \(u_{n+1} > \frac{3}{2}\times 0,5 \times 0,5^n+6\times 0,5\times 0,5^n\) (en effet 3/4 = 3/2 * 0,5 et 3 6*0,5)

[SoS-Math(9)]

Lucie,

Attention à ne pas poster plusieurs fois le même message. Il faut attendre que l'on publie ton message et que l'on te réponde avant de poster un autre message.

\(\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}\times0,5\) donc \(\frac{3}{4}\times 0,5^n=\frac{3}{2}\times0,5\times0,5^n\)

et \(3 = 6\times\frac{1}{2}=6\times 0,5\) donc \(3\times 0,5^n=6\times 0,5\times 0,5^n\)

SoSMath.

[Lucie]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Oui, excusez-moi...

Je comprends beaucoup mieux! Merci!
Si je suis bien le raisonnement Un+1 reste toujours plus grand que \((15/2)*0,5^(n+1)\)
Donc pour la suite de l'exercice soit le 2)b.
On doit faire 1/5(Un+1)+3*0,5^n-Un<0 ?

[SoS-Math(9)]

Lucie,

Pour la question 2b, je ne comprends pas ce que tu veux faire quand tu écris "1/5(Un+1)+3*0,5^n-Un<0".
On te demande de calculer U(n+1)-Un et de regarder son signe ....

\(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5}u_n+3\times 0,5^n-u_n=\frac{-4}{5}u_n+3\times 0,5^n\)

Ensuite utilise la question précédente pour conclure que \(u_{n+1}-u_n<0\)

SoSMath.

[Lucie]

Excusez-moi j'étais deja dans l'exercice 3, j'ai fais un mélange! Effectivement on remarque que un+1-Un possède un signe négatif, de plus, nous l'avons démontré dans la question précédente avec Un+1>15/2*0,5^n+1>15/4*0,5^n+1

C'est cela?

[SoS-Math(9)]

Non Lucie !

Tu as \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5}u_n+3\times 0,5^n-u_n=\frac{-4}{5}u_n+3\times 0,5^n\)

et \(u_n>\frac{15}{4}\times 0,5^{n}\), donc \(\frac{-4}{5}u_n ... \frac{-4}{5}\times\frac{15}{4}\times 0,5^{n}\) (à toi de compléter)

donc \(\frac{-4}{5}u_n +3\times 0,5^n .... \frac{-4}{5}\times\frac{15}{4}\times 0,5^{n}+3\times 0,5^n\)

etc ...

SoSMath.

[Lucie]

Je ne comprends pas....
Donc \((-4/5)Un>-3*0,5^n Donc (-4/5)Un+3*0,5^n<-3*0,5^n+3*0,5^n Donc -4/5Un+3*0,5^n<0\)


Est-ce bon?

[sos-math(27)]

Bonjour Lucie,
Attention, tu fais une erreur dans ton raisonnement :

Je ne comprends pas....
Donc (-4/5)Un>-3*0,5^n
Donc (-4/5)Un+3*0,5^n<-3*0,5^n+3*0,5^n
Donc -4/5Un+3*0,5^n<0

Entre la ligne 1 et la ligne 2, tu ajoutes -3*(0.5)^n donc le sens de l'inégalité ne change pas.
Corrige cela.