Variations

[Charly]

Bonjour,
Je suis bloqué à mon exercice étant :
f la fonction définie sur [0;+l'infini[ par f(x)=xg(x)-1
g est strictement croissante sur [0;+l'infini[ avec g(0)=1 et limg(x)=+ infini pour x tend vers + infini.
1) déterminer la limite de la fonction f en +infini.
Je l'ai fait et j'ai donc trouvé +infini
2) étudier le sens de variations de f
J'ai donc mis que x est croissante sur [0;+l'infini[ et que g(x) aussi. De plus -1 est constante alors f(x) est croissante. Est ce juste ?
3) déterminer le signe de f(x) avec on appelle Alpha la solution de l'équation f(x)=0.
J'ai mis que x est positive sur [0;+l'infini[ et g(x) également mais -1 est négatif donc f(x) est négatif.
Mon problème est que f ne peut pas être croissante et négative avec une limite de +infini pour x tend vers +infini.
Merci d'avance pour votre aide.
Charly

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Charly,
Pour le 2), ta démonstration n'est pas juste ou en tout cas pas complète.

Le produit de deux fonctions croissantes ne donne pas forcément une fonction croissante.
Par exemple, si h(x) = x et j(x) = x alors, la fonction \(~k(x) = h(x)\times j(x) = x^2\) est décroissante sur \(~ ]-\infty ; 0]\) et croissante sur \(~ ]0 ; + \infty[\). Pourtant les fonctions h et j sont croissantes sur \(~ ]-\infty ; + \infty[\)

Pour le 3), tu vas un peu vite.

-1 est négatif mais xg(x) n'est pas multiplié par -1 ! On a simplement enlevé 1 au résultat de xg(x).

Bon courage

A bientôt !

[Charly]

Je ne comprend pas votre explication pour la question 2.
En revanche, je comprend mon erreur pour la question 3.
Merci d'avance.
Charly

[Charly]

Après réflexion,
2) je sais que x est croissante sur cette intervalle.
g(x) également. De plus -1 est une constante et f(0)=-1 et lim de f(x) en +infini est +infini. Donc f est forcément croissante.
3) je sais que f(Alpha)=0 et f(0)=-1.
X est postif sur cette intervalle et nul pour x=0 et g(x) est aussi positive car g(0)=1 et g est croissante sur cet intervalle. De plus le signe ne change pas quand on enlève 1. Donc f(x) est négatif sur [0;alpha[ car f(0)=-1 et nul pour Alpha puis postive sur [alpha;+infini[.
Je ne sais pas si x=0 doit apparaître dans le signe de f(x) sachant que x est nul pour x=0.

Est ce juste ?
Merci beaucoup pour votre aide.
Charly

[SoS-Math(9)]

Bonjour Charly,

Question 2 :
Les limites n'interviennent pas pour les variations !
Ici ce qui est important c'est le signe de g(x) et celui de x ...
Pour trouver les variations de f il faut revenir à la définition d'une fonction croissante sur un intervalle I.

Question 3 :
Je ne comprends pas "De plus le signe ne change pas quand on enlève 1" ?
Ton résultat est juste, pour le justifier il faut utiliser les variations de f et f(Alpha)=0.

SoSMath.

[Charly]

Pour la question 2) je sais que g(x) est positive sur cet intervalle car g(0)=1 et lim en +infini est +infini. Et x est aussi postive sur cet intervalle. De plus les variations d'une fonction dépendent du signe de sa dérivée sachant que f'(x)=g'(x) et comme g est croissante alors g' est postive donc f' est positive et f est croissante. Pour la 3) f est croissante sur cet intervalle et f(0)=-1 et f(Alpha)=0. Alors sur [0;alpha[ négatif car f change de signe à f(Alpha) et sur ]alpha;+inf[ postive.
Est ce mieux ?
Merci.
Charly

[SoS-Math(9)]

Charly,

Tu as écrit "je sais que g(x) est positive sur cet intervalle car g(0)=1 et lim en +infini est +infini." C'est faux ... regarde la courbe de g(x) = 2x²-4x+1.
Tu as aussi écrit "f'(x)=g'(x)". C'est faux ... (uv)' = ... (regarde ton cours).
J'ai écrit "Pour trouver les variations de f il faut revenir à la définition d'une fonction croissante sur un intervalle I." Pourquoi ne le fais-tu pas ?

C'est bien pour la question 3.

SoSMath.

[Charly]

En effet je dois également ajouter que g(x) est croissante. Je pensais que la définition était avec la dérivée. Alors f est croissante si et seulement si pour tout réels a et b de I a<b alors f(a)<f(b). Je peux donc prendre 0 car f(0)=-1 mais je ne peux pas prendre un autre réel car si je prend x=1 alors f(1)=g(1)-1. C'est pour cela que je ne comprend pas.
Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Charly,

En effet il faut montrer que pour tout réels a et b de I, si a<b alors f(a)<f(b).
Mais il ne faut pas prendre d'exemple pour a et b ... ce sont des nombres quelconques de I (ici [0, +oo[) qui vérifient a<b.

Que peux-tu me dire de g(a) et g(b) sachant que 0<a<b ?

SoSMath.

[Charly]

Je peux dire que comme g(x) est croissante alors si 0<a<b je peux en déduire que g(a)<g(b).

[SoS-Math(9)]

Oui Charly,

Maintenant, il faut continuer.
Comme g est positive alors on a : 0<g(a)<g(b). De plus on a : 0<a<b, donc ... compare ag(a) et bg(b).

SoSMath.

[Charly]

Je peux donc en déduire que ag(a)<bg(b) car 0<à<b et 0<g(a)<g(b) donc tous les nombres sont positifs. Je dois maintenant soustraire 1 à ag(a) et bg(b) ce qui ne change pas le sens de l'inégalité si je ne me trompe pas ? Donc ag(a)_1<bg(b)-1 donc f est croissante.
Est ce juste ?

[SoS-Math(9)]

Oui Charly.

SoSMath.

[Charly]

Merci beaucoup pour votre aide.
Charly

[SoS-Math(9)]

A bientôt.

SoSMath.