La Lemniscate de Bernoulli

[Emma]

Bonjour à vous,

J'ai un devoir maison à rendre bientôt et je bloque complètement sur un exercice.
Voici l'énoncé :

La lemniscate a pour équation (x²+y²)²-4(x²-y²)

1) Vérifier que A(2;0) et A'(-2;0) sont sur la lemniscate.
2) Vérifier que B( √(2); √(-4+2 √(5)) et B'(- √(2); -√(-4+2 √5)) sont sur la lemniscate
3) Sachant qu'un point C(a;b) est sur cette lemniscate, trouver les coordonnées de trois autres points qui se trouvent alors automatiquement sur cette lemniscate. A qu'elle(s) propriété(s) géométrique(s) de la courbe cela correspond-il ?


J'ai réussi le 1) en remplaçant le y par le 0 et en calculant. J'arrive donc à trouver les deux résultats soit x= 2 et x=-2.
Par contre, si j'utilise la même méthode pour le 2), ça ne marche pas. J'ai essayé diverses méthodes comme remplacer que le x ou que le y ou encore les deux en même temps. Mais rien à faire, je bloque dessus.
Si vous pouvez m'aider ou m'expliquer ou juste me mettre sur la bonne voix, je vous en serais très reconnaissante.

Bonne soirée/journée à vous !

[sos-math(22)]

Bonsoir Emma,

Tu as certainement oublié "égal à zéro", de telle sorte que l'équation soit :

$\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}-4\left( x^{2}-y^{2}\right)=0$.

Ensuite, un point $M(x;y)$ appartient à la courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.

Concrètement, pour savoir si un point dont tu connais les coordonnées appartient à la courbe, il suffit de remplacer $x$ et $y$ (les deux en même temps), de simplifier et de voir si tu obtiens $0$ ou pas.

Par exemple, pour le point $B$ :


$\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}-4\left( x^{2}-y^{2}\right) =\left( \left( \sqrt{2}\right) ^{2}+\left( \sqrt{-4+2\sqrt{5}}\right) ^{2}\right) ^{2}-4\left( \left( \sqrt{2}\right) ^{2}-\left( \sqrt{-4+2\sqrt{5}}\right) ^{2}\right)$

$=\left( 2-4+2\sqrt{5}\right) ^{2}-4\left( 2-\left( -4+2\sqrt{5}\right) \right) =\left( -2+2\sqrt{5}\right) ^{2}-4\left( 6-2\sqrt{5}\right)=...=0$.

Bon courage.

[Emma]

Merci à vous !
Je vais essayer de suite. La première fois, j'ai dû faire une stupide erreur de calcule.
Encore merci et bonne soirée !

[sos-math(22)]

Bonne continuation et en cas de problème, n'hésite pas à revenir vers nous.
SoS-Math.

[Emma]

Bonjour de nouveau,
J'ai un nouveau petit problème.
Cette fois, c'est pour la 3). Il faut trouver trois points, mais les plus simple sont A(2;0) et A'(-2;0) que l'on a déjà trouver.
Pour les autres, je n'arrive pas à avoir des x et y cohérent.
Vous pouvez m'aider s'il vous plaît ?
Bonne journée/soirée

[sos-math(22)]

Bonsoir Emma,
On considère un point $C(a;b)$ appartenant à la courbe.
Comme $(-a)^2=a^2$, le point de coordonnées $(-a;b)$ appartient également à la courbe.
Reste à expliquer ce que cela signifie géométriquement, en terme de symétrie.
Enfin, il faudra trouver, de manière analogue, les coordonnées de deux autres points appartenant à la courbe.
Bon courage.