integration

[Invité]

Bonjour,

voici un exercice que j'ai commence, mais je bloque sur ce point.

soit f(x)=\(\frac{x}{e^{x}-1}\) pour tout reel x non nul.
et soit F une primitive de f sur R.

H(x)=\(\int_{x}^{2x}f(t)dt\)

j'ai exprimer H au moyen de F:

H(x)=F(2x)-F(x)et il faut que j'en deduise que H'(x)=\(\frac{x}{e^{2x}-1}\)(3-e^{x})

If faut forcement que je partes de H(x)=F(2x)-F(x) pour trouver l 'expression de H'(x) au moyen de F'(x), et je sais que cela doit etre :
H'(x)=2F'(2x)-F'(x)

mais je ne comprends pas pourquoi. Pourriez-vous m'aider?

Merci d'avance!

danielle

[SoS-Math(1)]

Bonjour Danielle,
Vous avez compris pourquoi on a H(x)=2F'(2x)-F'(x).
Il s'agit s'appliquer les théorèmes sur la dérivée d'une somme et sur la dérivée d'une composée de deux fonctions.
On a donc \(H(x)=\frac{4x}{e^{2x}-1}-\frac{x}{e^{x}-1}\)
ou encore \(H(x)=\frac{4x}{e^{2x}-1}-\frac{x(e^{x}+1)}{(e^{x}-1)(e^{x}+1)}\)
Je pense que vous pourrez maintenant obtenir ce qui est souhaité.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour,

Merci pour votre reponse si rapide.
Justement, je ne comprends pas pourquoi H'(x)=2F'(x)-F'(x).

Cordialement,

Danielle

[SoS-Math(1)]

Bonjour Danielle,
Vous savez sans doute que (f+g)'=f'+g'.
De plus, (gof)'=f'.(g'of).
Ces deux résultats permettent de justifier que H'(x)=2F'(2x)-F'(x).
En effet , la fonction dérivée de la fonction \(x\mapsto2x\) est la fonction \(x\mapsto2\).
Bon courage.

[Invité]

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos indications.
Je suis vraiment contente de pouvoir vous addresser des questions. Votre forum est tres utile!

:)
Danielle

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Le fait d'entendre que ce forum est utile nous aide aussi et accroît notre motivation.
A bientôt.