position relative de droites dans r3

[sophie]

Bonjour,

La question est déterminez la position relative de la droite 1 : (x,y,z)= (2,2,5) +k (-1,2,-6) et de la droite 4 si D4 : 2x=5-y=z+1/3

J'ai trouver les deux vecteurs directeurs : D1(-1,2,-6) D4(2,1,3)

Ils ne sont pas parallèles donc je dois trouver s'Ils sont concourantes ou gauche, cependant je ne sais pas trop comment m'y prendre avec c'est deux formes d'équations là..pouvez-vous m'aidez?

Merci

[sos-math(13)]

Bonjour Sophie,

le premier vecteur directeur est correct.
En revanche je ne comprends pas l'équation de D4.

[sos-math(13)]

Sinon, par "droites gauches", tu entends "non coplanaires" ?

[sophie]

oui c'est ça non coplanaires

L'équation est 2x = 5-y = z+1/3 je crois que c'est une équation cartésienne ...

[sos-math(13)]

Non ce n'est pas une équation.
J'imagine que cette étrange façon de donner une équation de droite correspond à donner deux équations de plans, qui seraient :

2x = 5-y ET 5-y = z+1/3

Car une droite est l'intersection de deux plans non parallèles.

Si jamais c'est ça, je te suggère de repasser en paramétrique, en posant y=t (par exemple), et en exprimant x et z en fonction de y, donc de t.

Tu auras alors des formes comparables.

[sophie]

donc je fais 2x= 5-t 5-t=z+1/3 ?

[Sophie]

La droite 4 donne :
x = 2-K
y= 2+2K
z=5-6K

La droite 1 donne : (pas certaine)
x=1/2+t
y=5 +t
z=-1+3t

ensuite je ferais :

1/2 + t = 2-K
5+ t = 2+2K
-1 +3t = 5-6K

ensuite je résous par Gauss ?

[sos-math(13)]

Tu as inversé les noms des droites, il me semble.

La droite 1 donne :
x = 2-K
y= 2+2K
z=5-6K
ça, ok.


La droite 4 donne : (pas certaine)
x=1/2+t
y=5 +t
z=-1+3t
ça, non.

Comme on a :
2x= 5-t et 5-t=z+1/3

on a :
x=... en fonction de t
y=t (ça on l'a choisi)
z=... en fonction de t

Mais il faut revoir les calculs pour trouver x et z...


ensuite je ferais :

1/2 + t = 2-K
5+ t = 2+2K
-1 +3t = 5-6K

là, la méthode est bonne (mais il faut d'abord corriger les calculs)


ensuite je résous par Gauss ?

Tu as 3 équations à 2 inconnues.

Deux équations vont te servir à trouver K et t
La troisième (très important) va te servir à valider ou invalider ce que tu auras trouvé.
Si elle valide, les droites se coupent, et avec les valeurs de K ou de t, tu trouves le point d'intersection.
Si elle invalide, les droites ne se coupent pas, donc elles sont soit parallèles (mais tu l'aurais vu avant), soit non coplanaires.

Bon courage.

[sophie]

L'équation 1 serait-elle
x=-2 +5-t
y=t
z=1 +3t
Je ne comprend pas trop le concept en fonction de t ...

[sos-math(13)]

Petit rappel :
pour résoudre ax+b=0, on commence par soustraire b à chaque membre, ce qui donne ax=-b, puis on divise chaque membre par a, ce qui donne x=-b/a

Là, j'ai l'impression que tu "changes les termes de membre" sans trop savoir l'opération réalisée. C'est pourquoi je te demande (en Terminale S) de te concentrer sur la résolution de ces toutes petites équations.

2x= 5-t donne x=...
et
5-t=z+1/3 donne z=...

Après seulement on parlera de t et de K.

[sophie]

Ok j'ai obtenu

2x=5-t ....x=(5-t)/2

5-t=(z+1)/3 ...z=14-3t [Edit de sos-math(13) : Tiens, c'est la première fois que tu mentionnes ces parenthèses, et ça change tout ! Il faut être rigoureuse si tu veux être comprise]

[sophie]

La matrice me donne:
-3 6 -3
0 0 1
0 0 -12

après je dois prendre le point z et le remplacer dans les équations pour trouver t et K ?

[sos-math(13)]

Résumons : (à condition qu'il n'y ait pas de parenthèses fantômes...)
D1 :
x=(5-t)/2
y=t
z=14-3t

D4 :
x = 2-K
y= 2+2K
z=5-6K

(1) Les droites sont-elles parallèles ?
(2) si non, alors il reste à résoudre :
(5-t)/2=2-K
t=2+2K
14-3t=5-6K

D'où sort ta matrice ?