Complexes et Formule de Cardan

[Solsha]

Bonsoir,

Je rencontre quelques soucis avec un exercice sur les nombres complexes impliquant la formule de Cardan. Un peu d'aide serait bienvenue !

1) x^3 = 36x+91

x^3 = px+q

J'ai tapé la formule à la calculatrice en remplaçant 9 par 36 et q par 91 et j'obtiens environ 40.5

Je ne comprends pas comment factoriser le polynôme en mettant x - alpha en facteur ... ? Qu'est ce qu'alpha ?

Merci d'avance pour votre aide !

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Je vous confiance sur le calcul de la solution qui s'appelle \(\alpha\) comme le dit l'énoncé.

Puisque si vous ne vous êtes pas trompés, \(\alpha = 40,5\), alors vous pouvez factoriser le polynôme \(x^3 - 36x - 91\) par \(x - 40,5\).

Vous aurez donc \(x^3 - 36x - 91 = (x - 40,5)(\ldots)\).

Il faut trouver le polynôme que j'ai désigné par petits points.

Bon courage.

[Solsha]

(x-40.5)(x^3-36x-91) ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Vous ne mûrissez pas assez le message que j'ai envoyé.

Réfléchissez et allez-y, développer ce que vous proposez à savoir \((x-40,5)(x^3-36x-91)\).

Croyez-vous que le développement donnerais \(x^3-36x-91\)?

Bon courage.

[Solsha]

Alpha ne peut donc pas être égal à 40.5 ... Pourriez vous tout de même vérifier mon calcul car je ne suis pas sûre qu'il soit correct même avec la calculatrice.

[Solsha]

Alpha = 7, je m'étais trompée ...

x^3 - 36x + 91 = (x-7)(x²+bx+c)

Je ne sais pas comment continuer ...

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,

Oui \(\alpha = 7\).
D'ailleurs \(7^3=36 \times 7 + 91\).

Donc on peut factoriser \(x^3-36x-91\) par \(x-7\) (attention, c'est - 91).

\((x^3-36x-91)=(x-7)(ax^2+bx+c)=ax^3-7ax^2+bx^2+\ldots\). Je ne vais pas tout faire.

Ensuite il suffit d'identifier les coefficients des deux polynômes.
Clairement a doit être égal à 1.

Bon courage.

[Solsha]

Je ne comprends pas très bien comment faire pour isoler a après avoir développé entièrement e qui donnerait ax^3 - 7 ax² + bx² -7bx + cx - 7c

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Les coefficient de \(x^3\) sont égaux donc \(a = 1\).
Les coefficients de \(x^2\) sont égaux, donc le coefficient de \(x^2\) dans \(x^3-36x-91\), c'est-à-dire 0 puisqu'il n'y a pas de \(x^2\) doit être égal au coefficient de \(x^2\) dans ce que vous avez développé.
C'est \(~-7a+b\) si je ne m'abuse...

Je vous en ai assez dit.
Il faut trouver le reste seul.

Bon courage.

[Solsha]

Je suis désolée je ne comprends pas très bien de quoi vous parlez quand vous parlez de coefficients et d'égalité entre coefficients ...

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,

Par exemple,
si on sait que \(x^2+3x-2=mx^2+nx+p\).
On peut dire que m = 1, n = 3 et p = -2.

A bientôt.

[Solsha]

Donca = 1 b = -6 et c = -7 ?

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,

Non, seul a = 1 est correct.

Poursuivez votre recherche.

A bientôt.