Suites, récurrence

[Elise t°S]

Bonjour,
Je travaille sur la récurrence, et l'étape de l'hérédité me bloque:

Merci d'avance.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Elise,

Attention, vous confondez \(v_n+1\) avec \(v_{n+1}\).

Ici vous avez \(v_0=2\), donc on a bien \(1 \leq v_0 \leq 2\).

Supposons que \(1 \leq v_n \leq 2\) et il faut démontrer que \(1 \leq v_{n+1} \leq 2\).
Pour démontrer cela, il faut utiliser les deux propriétés de la fonction \(f\) à savoir qu'elle est croissante sur [0;2] et que si \(x \in [0;2]\), alors \(f(x) \in [0;2]\).

Bon courage.

[Elise t°S]

Bonjour,
J'ai finalement compris pour la question 1/ en me servant du fait que f est croissante.
Cependant, pour la 2/ il s'agit du même exercice mais cette fois: Pour tout entier naturel n, \(U{n+1}\) \(\leq\) \(U{n}\) .
n+1 est en indice.
Ce que je ne comprends pas, c'est qu'elle est censée être croissante...

Pour l'exercice 2, je ne vois toujours pas comment procéder.

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Elise,

Exercice 1
Je ne vois ni la question 2 dans ton énoncé ni de suite (un) !

Exercice 2

Ton hypothèse de récurrence est \(u_{n+1}=\frac{-1}{2}u_n+1\). Et il faut montrer que \(u_{n+2}=\frac{-1}{2}u_{n+1}+1\) (2).
Tu sais que \(u_{n+2}=\frac{u_{n+1}+u_n}{2}\) (1).
A l'aide de ton hypothèse de récurrence, exprime \(u_{n}\) en fonction de \(u_{n+1}\).
Alors remplace \(u_{n}\) dans (1) ce qui va te donner ce que tu recherches (2).

SoSMath.

[Elise t°S]

Bonsoir,
Merci de votre réponse.
Je m'excuse pour l'exercice 1, 2/, il s'agissait de (Vn). Mais j'ai réussi, c'était une erreur d'interprétation de ma part.
Concernant l'exercice 2, je vous remercie, j'ai juste une dernière question, mon énoncé indique Un+1=-1/2Un+1 mais ne serais-ce pas plutôt Un+1=-1/2(Un+1) ?

Merci d'avance.

[sos-math(13)]

Bonjour,

les deux écritures sont ambiguës.

En fait, après avoir essayé les différentes formules, ce qu'il faut montrer est :
\(u_{n+1}=-\frac{1}{2}\times{u_n}+1\)