algèbre linéaire

[sophie]

Bonjour
J'aimerais savoir comment faire la suite de mon problème
Soit P(-1,7) et Q(-3,0)

Déterminer la ou les valeur de K de telle sorte que la distance entre le point P et la droite:12x-5y+k=0 soit de 1 unité
Solution: le vecteur \vec{N}= (12,-5) est le vecteur normal à la droite, j'ai déterminer un pts quelconque de la droite en posant x=5 cela m'a donné y=-60-k/-5 donc c'est mon pts B (5, 12-K). Je dois trouver le vecteur PB: (5,12-K) - (-1, 7)= (-6, 5-8k). PB ( -6, 5-8k) x N( 12, -5) / ||N|| = -72-25 +40k /13. Je rentre ce que je viens de trouver dans l'équation : 12(-72)-5(-25)+40k=1 =-864 +125 +40k/13 =1 mais cela n'est pas bon puisque le K est supposé donner 60. Où est mon erreur...?

[sos-math(13)]

Bonjour,

les calculs sont un peu fait "à l'arrache"...

5-(-1) = -6 (pas sûr...)
12-K-7=5-8k (pas sûr...)
Et je me suis arrêté là.

A reprendre, en les présentant proprement et en y allant calmement.

[sophie]

Bonjour,
C'est vrai! J'ai du faire le problème environ 20 fois donc c'est pour ça que je demande votre aide puisque rien ne fonctionne...

5-(-1) = 6
12-K-7= 5-k

PB( 6, 5-k) ... (le K reste tel quel ? )

PB * N / ||N||

(6, 5-k) * (12,-5) /||13||= 72 -25 -k /13

Formule: 12 (72/13) -5(-25/13)- k/13 = 1

Est-ce que ceci est mieux ?

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Sophie,

Je necomprends pas très bien ta mutiplication de vecteurs PB et N...

Tu as le vecteur npremière à la droite : N. C'est un bon debut.

Peut tu trouver l'équation de la droite dirigée par N passant par P ? Cette droite sera perpendiculaire à la première.
Ainsi, tu auras les coordonnées du point d'intersection des deux droites en fonction de k.
Il restera à trouver k pour que la distance entre P et le point d'intersection soit 1.

A bientôt

[Sophie]

Bonjour,

J'ai trouver l'équation de la droite dirigée par N passant par P : 12x -5y -35=0

J'ai remplacer x par 1 dans cette équation donc y= -7

J'ai ensuite remplacer ce point dans la première équation 12x-5y+k =1 pour ainsi trouver k

J'ai obtenu k=-46

Est-ce que cette réponse est bonne ?

Merci pour vos conseils.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

L'équation de ta droite est fausse ...
Le vecteur \(\vec{n}\) est colinéaire à ta droite et non orthogonal ce qui change la formule pour trouver l'équation de la droite ...
Rappel : soit D la droite de vecteur directeur \(\vec{n}(a,b)\) et passant par \(P(x_p,y_p)\) alors son équation est donnée par :
\(b(x-x_p)-a(y-y_p)=0\) (c'est la traduction analytique de la condition de colinéarité.)

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Sophie,

Il y a une autre méthode ... as-tu vu la formule qui donne la distance d'un point à une droite ?
Si oui, alors utilise cette formule !

SoSMath.

[Sophie]

J'ai essayer aussi avec cette formule et cela me donne 47/13 mais c'est la suite que je ne sais pas comment faire pour me rendre a 1 unité..

[SoS-Math(9)]

Sophie,

Dans ta distance il y a forcement le paramètre k ....
Peux-tu me donner la formule et le détail des calculs qui t'ont permis de trouvé 47/13 ?

SoSMath.

[Sophie]

La formule pour trouver la distance entre le point P et la droite est: ax+ by+c /racine carrée de a (au carré) et b (au carré) = 47+k/13 ou il y avait aussi la formule PQ * N / ||N|| et cela me donne la même chose VN ( 12, -5) * P (-1,7)= 47/13

[SoS-Math(9)]

Sophie,

Il manque la valeur absolue dans ta formule ... D = |ax+ by+c |/racine carrée(a² + b²) ce qui donne D = |-47 + k |/13.
Tu veux que cette distance D soit égale à 1, donc |-47 + k |/13 = 1 soi |-47 + k | = 13.
Je te laisse terminer pour trouver k ...

SoSMath.

[Sophie]

Je me compliquais la vie à ce que je vois !!

Merci