Les suites

[Buzzleclair]

Bonjour,
J'ai un dm sur les suites et j'ai un peu de mal avec une question.
On donne les suites u et v définies par U0=10 et V0=20
Un+1 = (Un+Vn)/2 et Vn+1= (Un+2Vn)/3

1) Démontrer que la suite W est géométrique de raison 1/6
2) Calculer W0 puis exprimer Wn en fonction de n
3) Démontrer par récurrence que les termes de la suite W sont positifs et que cette suite est décroissante. Que peut on en déduire pour les termes de même rang des suites U et V.

J'ai réussi la 1ere et la 2eme question :
1) Wn+1=Vn+1-Un+1=1/6 ( J'ai bien sur développé )
2)W0=10 et Wn=10*(1/6)^n

J'ai du mal avec la 3eme question, je ne sais pas comment faire, pourriez vous m'aider ?
Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Buzz,
Peux tu préciser comment est définie la suite w ?
En effet, selon ce que tu indiques, il faut démontrer que \(w_{n+1}=\frac{1}{6}(u_{n+1}-v_{n+1})\)

Question 2 : ok

Question 3 : Pour la démonstration par récurrence, il y a trois étapes :
1. vérifier que la propriété est vrai au rang 0
2. On suppose qu'elle est vraie jusqu'au rang n ( \(w_n>0\) )
3. on démontre alors qu'elle est vraie au rang n+1
La conclusion est alors que la propriété est vraie pour tout n

Pour la décroissance, il faut calculer \(w_{n+1}-w_n\) et montrer que le résultat est positif pour tout n

Bon courage

[Buzzleclair]

La suite Wn est définie par Wn=Vn-Un

J'ai réussi la question 3 :) Merci beaucoup

Nous devons ensuite démontrer que la limite de W est 0, j'ai fait cette question.
Ensuite, on en déduis que u et v ont même limite. ( question de l'énoncé que j'ai réussi)
6) Démontrer que la suite u est croissante et que la suite v est décroissante.
Comment dois je m'y prendre ?
Merci d'avance pour votre aide

[sos-math(27)]

REbonjour Buzz,
Très classiquement, pour démontrer q'une suite est croissante, il faut démontrer que : \(u_{n+1}-u_n\geq 0\) pour tout n
( et \(v_{n+1}-v_n \leq 0\) pour tout n dans le cas décroissant)

A vous les calculs !

courage

[Buzzleclair]

Je trouve que les calculs sont assez compliqué..

Pour Un :
Un+1-Un>0
(Un+Vn)/2 -(Vn-Wn)>0
(Un+Vn-2Vn+2Wn)/2
(Un-Vn+2Wn)/2

Je n'arrive plus à avancer dans ce calcul, que faut il faire ?

Pour Vn :
Vn+1-Vn<0
(Un+2Vn)/3 - (Wn-Un) <0
(Un+2Vn-3Wn-3Un)/3 <0
(-2Un+2Vn-3Wn)/3 <0

Je suis bloqué au même endroit. Que ferriez vous ?

Merci énormément de votre aide :)

Je suis bloqué au même endroir

[sos-math(27)]

Attention : il ne faut pas écrire <0 ou >0 avant de l'avoir prouvé !!!

Dans ton premier calcul,
ligne 1 pourquoi remplacer Un par (Vn-Wn) ? C'est inutile : tu sais que Un+1-Un = (Un+Vn)/2 -Un= Vn/2-Un/2=(Vn-Un)/2 et donc on retrouve ....

Reprendre le second calcul avec la même idée.

Bonne continuation...

[Buzzleclair]

Donc pour Un+1-Un j'arrive à Wn/2 mais je ne sais pas quoi en faire..

Et pour Vn j'arrive à (Un-Vn)/3. Mais j'ai le même problème, je ne sais pas quoi faire une fois que je suis arriver à ce stade..

[sos-math(13)]

Bonjour Buzzleclair,

pour \(u_{n+1}-u_n\) tu tombes donc sur une suite géométrique, dont tu connais l'expression directe en fonction de \(n\), ce qui te permet de conclure sur le signe.

Pour \(v_{n+1}-v_n\), ce que tu trouves est aussi à rapprocher de \(w_n\), dont tu sais qu'elle est géométrique.

Bon courage.

[Buzzleclair]

Merci beaucoup, vous m'avez réellement bien aider ! :)

J'ai un autre exercice à faire et je ne comprend vraiment rien à celui là.. Je ne sais pas quoi faire pour le résoudre..
Voici l'énoncé :
On admettre 1²+2²+...+n²=(n(n+1)(2n+1))/6 pour tout n appartenant à N*.
On donne les suites u et v définies sur N* par Un = (1/n)x[(1/n)²+(2/n)²+...+(n-1/n)²] et Vn=Un+(1/n)
1) On admet que la suite u est croissante ( Résultat pas forcément utile pour la suite)
Démontrer que Vn=[(n+1)(2n+1)]/6n²
Démontrer que la suite v est décroissante.
2) Démontrer que lim(Vn-Un)=0
3) On admet que les suites u et v sont convergentes. Déduire de la question 2 que ces deux suites ont même limite et déterminer celle-ci.

Pourriez vous me donner quelques indications pour réussir les questions. Merci

[sos-math(27)]

Bonsoir Buzz,
Attention, il faut tout de même que tu dises quel est le début de ta démarche !!
Je ne vais pas chercher l'exercice à ta place...mon intervention a pour objet de débloquer la situation.

Bon courage, à bientôt

[Buzzleclair]

J'y ai réfléchi mais je n'y arrive vraiment pas..

Pour la question 1 :
Vn=Un+(1/n)
= (1/n)+[(1/n)^2+(2/n)^2+...+((n-1)/n)^2 +(1/n)

Mais je ne sais pas quoi faire ensuite..
Que ferriez vous ?

[sos-math(20)]

Attention, tu n'as pas remplacé \(V_n\) par la bonne expression; c'est sans doute pour cela que tu ne vois pas ce qu'il faut faire ensuite.

Bon courage pour reprendre

SOS-math

[sos-math(20)]

Dans mon message précédent c'est évidemment \(U_n\) et pas \(V_n\)