Pourcentages de variations - Étude de fonctions

[Thomas]

Bonjour, je viens aujourd'hui demander votre aide pour un problème où j'ai passé pas mal de temps et qui ne se relie en rien aux notions de fonction que l'on a pu aborder l'année précédente.
Je n'ai vraiment pas pu avancer, tout brouillon s'avérait faux. Voici l'intitulé :

Soit f définie sur [0;1] par : f(x)= x/1+x

1) Etudiez le sens de variation de f
2) Dresser son tableau de variation

3) Démontrer que f(x) = 1-(1/1+x)
4) Démontrer que si 0<x<1/10, alors 0<f(x)<1/11

C'est la première partie...

Si vous pouviez me mettre sur des pistes ou même juste m'avancer un truc, j'ai pas mal de blocages là dessus, que des fausses pistes :/

Merci d'avance :)

[SoS-Math(1)]

Bonjour Thomas,

Il faut calculer f'(x).
f est de la forme \(\frac{u}{v}\)
\(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
Ensuite, on étudie le signe de la fonction dérivée sur [0;1] pour connaître les variations de f.

Pour démontre que \(f(x)=1-\frac{1}{1+x}\), on part de \(1-\frac{1}{1+x}\) et on réduit au même dénominateur.

Pour la question 4, on utilisera ce que l'on a obtenu à la question 3.

Bon courage.

[Thomas]

Merci beaucoup !
Pour la question 3, j'ai fait ceci :
1-1/(1+x) = x/x - 1/(1+x)
= x[(1+x-x)/(x(1+x)]
= (x+x^2-x) / (x+x^2)
= x^2 / (x+x^2)
= x / (1+x)

Donc 1-1/(1+x) = x / (1+x) = f(x)

Je ne pense pas avoir utilisé la bonne méthode, qu'en dites vous ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Thomas,

En effet...
Et si vous écriviez \(1=\frac{x+1}{x+1}\).

A bientôt.

[Thomas]

Merci encore !
En effet la solution est plus probante ;)
En revanche je ne comprend rien au calcul de la fonction dérivé... Je n'ai jamais vu cela en cours et je n'arrive pas à trouver la nuance entre u et u', et v et v'. D'autant que je ne sais pas vraiment comment l'appliquer dans le calcul.
En tous cas merci pour votre aide passée

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Ici \(u(x)=x\) et \(v(x)=x+1\).
Donc \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=1\).

Il faut appliquer la formule donnée dans l'un de mes messages précédents.

A bientôt.
Ps: si vous êtes en première, vous n'avez sûrement pas vu cela encore et cet énoncé est curieux dans ce cas.
Demander alors des précisions à votre professeur.

[Thomas]

Merci beaucoup !
On a donc : 1(1+x)-1(1)/(1+x)^2 = 1+x-1/(1+x)^2 = x/(1+x)^2 ?
Et pour le tableau de variation : f(x) -> 1/x, et f'(x) -> -1/x^2
Ce qui donne x : - 0 +
(1+x)^2 : + +
f'(x) : - 0 +
f(x) : Décroit, 0, Accroit

C'est ce que j'ai pu tenter de résoudre, mais c'est la 1ère fois que je fais cela. Et d'ailleurs pour 1 = 1+x/1+x
On a donc : 1+x/1+x - 1/1+x = x/1+x
Merci beaucoup pour m'avoir mis sur ces pistes précieuses

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Thomas,

Il y a des erreurs.
On trouve \(f^{\prime}(x) = \frac{1}{(1+x)^2}\).

Il est aisé de trouver le signe de la dérivée.

Ce qui donnera les variations de f.

A bientôt.

[Thomas]

Bonjour,
Merci de la remarque, j'ai corrigé : (1+x)-x(0-1)/(1+x)^2 = 1+x-x/(1+x)^2 = 1/(1+x)^2
Mais f(x)= 0 n'est jamais atteint. Comment pouvons nous alors dresser le tableau de variation de la fonction ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Je ne comprends pas la remarque "mais fx)=0 n'est jamais atteint"...
La fonction dérivée donne les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f.
Si la fonction dérivée est strictement positive sur un intervalle I (ce qui est le cas ici), on peut conclure que la fonction f est strictement croissante sur I.

A bientôt.

[Thomas]

Bonjour,
Je comprend...
Ma question serait alors : comment démontrer que f(x) est croissante sur [0:1] ?

Merci

[sos-math(20)]

Je vous invite à bien relire tous les messages précédents, la réponse à votre question est dedans.
Bon courage

SOS-math