Nombre irreductible

[ali]

Bonjour

je voudrais savoir comment démontrer que pour tout n entier naturel: \(\frac{n}{n+1}\) est irreductible

merci pour l'aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Pour réduire une fraction tu peux la simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur, cherche celui de \(n\) et de \(n+1\) et conclus.

Bonne continuation

[ali]

Bonsoir

merci pour la reponse, mais peut être l'énoncé n'est pas clair. Ma question est que quelque soit l'entier n, n/(n+1) est irréductible

Ma proposition est d'écrire n/(n+1) = 1-(1/(n+1)
j'en conclue ainsi que le rapport ecrit sous cette forme permet d'affirmer. Est ce correct ?

cordialement

[sos-math(28)]

Bonsoir Ali
Supposons qu'un entier d divise n et n+1 alors il divise leur différence.
Cela devrait te permettre d'avancer.
Bon courage

[Ali]

bonsoir;

merci pour la piste!

si j'ai bien compris il est proposé une démonstration par l'absurde

on suppose n et n+1 non premiers entre eux ou ce qui revient au même le rapport en question est "réductible"

donc il existe un entier d (strictement supérieur à 1)divisant n et n+1 mais aussi leur différence:

\(\frac{n+1}{d}-\frac{n}{d}=\frac{1}{d}\)

or ce nombre \(\frac{1}{d}\) n'appartient pas à N, contradiction (somme de 2 entiers est entier!)

d'où \(\frac{n+1}{n}\) est bien irréductible.

merci de me faire part de vos observations

bien cordialement

[sos-math(28)]

Bonjour Ali

merci pour la piste!

si j'ai bien compris il est proposé une démonstration par l'absurde

Ce n'est pas vraiment un raisonnement par l'absurde. On cherche les diviseurs commun à \(n\) et \(n+1\), on prouve qu'un tel diviseur divise 1 , donc le seul diviseur positif commun à \(n\) et \(n+1\) est 1. Cela suffit pour affirmer que la fraction \(\frac{n}{n+1}\) est irréductible quelque soit l'entier \(n\) non nul.