produit scalaire

[lucie]

Bonjour,
j'aimerais savoir si mes 3 premières questions sont bonnes.
l’espace est muni d’un repère orthonormal (O,i,j,k)
1. Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normaln (a, b, c) et un point M0 (x0, y0,z0)
a(x − x0)+b(y − y0)+c(z − z0) = 0

2. Prouver que A, Bet C déterminent un plan.
A(1;2;-3) B(-3;1;4) C(2;6;-1)
Par exemple les vecteurs AB(-4;-1;7) BC(5,5,-5).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent un plan P

3. Justifier que le vecteurr n(2;-1;1) est normal au plan (ABC).
n est un vectur normal au plan (ABC),
si n est orthogonal aux vecteurs AB et AC :
c'est à dire si : n.AB = 0 et n.AC = 0

On a AB(-4;-1;7) et n(2;-1;1)
n.AB=-4*2-1*-1+7*1=-8+1+7=0
Et n.AC=1*2+4*-1+2*1=2-4+2=0

donc n est normal au plan (ABC)
c'est ça ?

4. Determiner une équation cartesienne du plan (ABC).
est ce que on doit passer par la representation paramétrique ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Lucie,
Vos résultats semblent corrects.
Pour la question 4, voir la question 1.
A bientôt.

[lucie]

Merci beaucoup donc
une équation cartesienne du plan (ABC) est 2(x-1)-(y-2)+(z+3)=0
2x-y+z+3=0

5. On pose D(-5;9;4). Donner une représentation paramétrique de la droite d passant par D et perpendiculaire au plan (ABC).

On a l'équation cartésienne d'un plan (ABC) qui est 2x-y+z+3=0 et un point D(-5;9;4).
d'après l'équation cartésienne du plan un de ses vecteur normaux est (2;-1;1)
La représentation paramétrique sera donc
x = 2*t + a
y = -1*t + b
z = 1*t + c

le point S appartient à la droite donc
x = 2*t -5
y = -1*t +9
z = 1*t + 4

6. Donner les coordonnées du point K qui est l'intersection de la droite d et du plan (ABC)
une équation cartesienne du plan (ABC) est 2x-y+z+3=0
la representation paramétrique de D est x = 2*t -5
y = -1*t +9
z = 1*t + 4

2*(2*t -5)-( -1*t +9)+( 1*t + 4)+3=0
4t+10-t+9+t+4+3=0
2t+26=0
t=-13
K(-31;22;-9)
5. Donner la valeur exacte de la distance SK.
Là je vois pas comment faire. Merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Ta démarche me semble correcte.
Pour la valeur exacte de la distance \(DK\), tu peux utiliser la formule donnant la distance entre deux points d'un repère orthonormé :
\(DK=\sqrt{(x_D-x_K)^2+(y_D-y_K)^2+(z_D-z_K)^2}\)
Bon calcul

[lucie]

j'ai fait une erreur de calcul
2*(2*t -5)-( -1*t +9)+( 1*t + 4)+3=0
6t-12=0
t=2

Donc la distance DK=2racine6

8. Calculer vecteurAB.vecteur AC et en déduire la hauteur CH du triangle ABC où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
on a AB.AC(vecteurs)=AB.AC*cos(BAC)
mais comment a ton l'anglais BAC ?
merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour le produit scalaire, il vaut mieux utiliser les coordonnées : \(\vec{AB}.\vec{AC}=xx'+yy'+zz'\)...
Bon courage

[lucie]

j'ai trouvé pour AB.AC=6 mais pour la hauteur, on me demande en déduire donc je peux pas utiliser la méthode de chercher une équation de la hauteur avec M(x,y) est sur (AB) ssi : CA.AB = 0

[SoS-Math(25)]

Bonjour Lucie,

Le produit scalaire me semble correct.

Pour la hauteur, après avoir calculé le produit scalaire, tu peux utiliser la formule que tu as donnée :

AB.AC(vecteurs)=AB.AC*cos(BAC)

afin de calculer l'angle BAC. (Il faudra donc trouver les longueurs AB et AC.)

Il restera un coup de trigonométrie dans le triangle rectangle ACH.

Bon courage !

[lucie]

AB=racine de 66
AC=racine de 33

on a donc cos (BAC)=cos (66/33)=1 degres

ça me parrait peu...

[sos-math(21)]

Reprends ton calcul de AC. Je dirais \(AC=\sqrt{21}\).
Pour le calcul, tu as \(\cos(\widehat{BAC})=\frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB\times AC}\) et si tu veux revenir à l'angle, il faudra faire \(\cos^{-1}\) à la calculatrice.
Bonne continuation.