Variations d'une fonction

[Charlotte]

Bonjour,
J'ai une question d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre étant :
On considère la parabole d'équation y=x^2 et une droite d'équation y=mx+p où m et p sont deux réels quelconques.
1- déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la parabole et de la droite.

J'ai donc résolu l'équation mx+p=x^2
Mon résultat est -x^2+mx+p=0
J'utilise le degré 2
Je trouve comme discrimant m^2+4p
Mais je ne sait pas si je dois encore utiliser le degré 2 pour trouver mes deux x ?

Les autres questions de cette exercice dépendent toutes de celles-ci.

Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

D'abord il n'y aura pas toujours intersection entre la droite et la parabole.

Pour qu'il y ait 2 points d'intersection distincts , il faut et il suffit que m²+4p>0

Dans ce cas tu calcules x1 et x2 avec les formules classiques des équations du secpond degré.
Pour y1 et y2, on aura y1=x1² et y2=x2²

sosmaths

[Charlotte]

Je suis d'accord avec vous.
J'ai donc fait mon x1 et j'obtiens x2=m+racinep
Pour mon x2 je trouve x2= - racinep
Le problème est que lorsque je remplace le x par mes valeurs dans l'équation de la droite et de la parabole je ne trouve pas le même y. Pourtant comme ce sont des points d'intersection je devrai obtenir le même résultat ?

[SoS-Math(4)]

bonjour,

Tu te trompes dans ton calcul.

je trouve x1=(-m+rac(m²+4p))/(-2)=(m-rac(m²+4p))/2

Attention : J'ai l'impression que tu utilises une propriété fausse de la racine carrée.

sosmaths

[Charlotte]

En effet, je pense que j'utilise une mauvaise propriété.
Je trouve donc x1=(m-racine(m^2+4p))/2
Et x2= (m+racine(m^2+4p))/2
Ensuite je trouve y1= p et y2=m^2+p
Mes résultats sont-ils justes ? J'ai seulement fait mes y avec la formule de la parabole car je n'arrive pas avec la formule de la droite. Je n'arrive donc pas à vérifier mes résultats. Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

les résultats doivent être faux.

je rappelle que (a+b)²=a²+2ab+b²

et

(a-b)²=a²+b²-2ab

ne pas oublier le double produit.

sosmaths

[Charlotte]

Ah oui alors si je rectifie je trouve :
Y1=m^2-m(racine(m^2+4p))+2p
Y2= m^2+m(racine(m^2+4p))+2p
Je n'arrive pas à plus simplifier mes résultats. Sont-ils justes ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour Charlotte,

Je pense qu'il y a encore une erreur, quand tu calcules y1, il faut élever le dénominateur au carré, ce qui donne 1/4.

Reprends tes calculs, ils ne se simplifient pas beaucoup plus mais les valeurs trouvées sont erronées.

Bonne continuation.

[Charlotte]

Ah oui j'avais oublié le carré du dénominateur je trouve :
Y1= (m^2-m(racine(m^2+4p))+2p)/2
Y2= (m^2+m(racine(m^2+4p))+2p)/2
Ces résultats sont-ils justes ?

[SoS-Math(7)]

Oui, Charlotte, ces résultats sont justes.

Bonne continuation.

[Charlotte]

Suite à mes résultats je dois maintenant répondre à la deuxième question sur la photo jointe mais toujours avec la droite d'équation y=mx+p. Je reprends mes deux points étant À et B trouvé par les coordonnés j'ai pour répondre à cette deuxième question calculé d'abord l'aire du trapèze ABPH et je trouve m^3+4p. Cependant, lorsque je cherche l'aire du trapèze AMQH j'obtiens un très long calcul que je n'arrive pas à résoudre. Est ce normal ? Pour informations je pose l'aire AMQH = (((2x^2+m^2-m(racine(m^2+4p))+2)/2)*(2x+m-racine(m^2+4p))/2))* 1/2. Merci d'avance.

[Charlotte]

Suite à mes résultats je dois maintenant répondre à la deuxième question sur la photo jointe mais toujours avec la droite d'équation y=mx+p. Je reprends mes deux points étant À et B trouvé par les coordonnés j'ai pour répondre à cette deuxième question calculé d'abord l'aire du trapèze ABPH et je trouve m^3+4p. Cependant, lorsque je cherche l'aire du trapèze AMQH j'obtiens un très long calcul que je n'arrive pas à résoudre. Est ce normal ? Pour informations je pose l'aire AMQH = (((2x^2+m^2-m(racine(m^2+4p))+2)/2)*(2x+m-racine(m^2+4p))/2))* 1/2. Merci d'avance.

[Charlotte]

Après de nouvelles recherches je trouve l'aire du triangle AMB = (m^3+4pm-2mx^2)/2. Trouvez vous le même résultat ? Merci et désolé pour les messages mais je poursuit mes recherches en attendant vos réponses.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu dois trouver , après des calculs longs et fastidieux (je me suis servi de geogebra !) :
\(\mathcal{A}_{AMB}=\mathcal{A}_{AHPB}-\mathcal{A}_{AHQM}-\mathcal{A}_{MQPB}=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+4p}\left(-x^2+mx+p\right)\)
Donc il te restera à étudier les variations de la fonction \(f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+4p}\left(-x^2+mx+p\right)\), fonction polynôme du second degré....
Bon courage.

[Charlotte]

Bonjour,
Je suis repartis de votre aide car je n'arrive pas à calculer à la main l'aire du triangle.
Pour la dérivée je trouve f'(x)=(1/2(racine(m^2+4p)))*(-2x+m). Est ce juste ? J'ai considéré que 1/2(racine(m^2+4p)) était une constante et que sa dérivée était nulle. Merci encore.