produit scalaire

[Méline]

Bonjour,

ABC est un triangle
On construit extérieurement au triangle ABC les 2 triangles ABD et ACE rectangles et isocèles en A;

a) Démontrer que AD.AE= -AB.AC

b) En déduire que les droites (BE) et (CD) sont perpendiculaires.

a) voici ce que j'ai fais:

AD.AC=(AB+BD).(AC+CE)
=(AB.AC)+(AB.CE)+(BD.AC)+(BD.CE)

Et ensuite je suis bloquée ... Je voudrais bien un peu d'aide pour poursuivre l'exercice merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Méline,

Je pense que tu a appris \(cos(\pi-\alpha) = -cos(\alpha)\).

Tu as d'un côté \(\vec AD \vec AE = AD\times AE \times cos(\widehat {DAE}\) et \(\vec AB \vec AC = AB\times AC \times cos(\widehat {BAC}\).

Compare les longueurs, (tu as des triangles isocèles) et les angles (tu as deux triangles rectangles) et conclus.

Bon courage

[Méline]

Bonsoir,

j'ai compris la méthode mais le problème est qu'on peux remplacer les angles avec les radians comme ce sont des angles droits mais on ne peut pas remplacer les vecteurs par des longueurs puisqu'on a pas les longueurs de donner ... ???
Je veux bien un petit coup de pouce s'il vous plaît.

[Méline]

Bonsoir,

j'ai bien compris la méthode mais le problème est qu'on ne connait pas les longueurs pour remplacer les vecteurs...

Je voudrais bien un petit coup de pouce s'il vous plaît..

[sos-math(21)]

Bonsoir,
On te demande de raisonner sur les longueurs en général :
il faut reprendre ce qui a été dit par mon collègue :
L'angle plein (360° ou \(4\pi\)) est formé de 4 angles de sommet A donc on a :
pour les angles on a \(\widehat{DAE}=4\pi-\widehat{EAC}-\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=4\pi-\frac{\pi}{2}-\widehat{CAB}-\frac{\pi}{2}=3\pi-\widehat{CAB}\)
donc au niveau des cosinus, on a \(\cos(\widehat{DAE})=\cos(3\pi-\widehat{CAB})=\cos(\pi-\widehat{CAB})=-\cos(\widehat{CAB})\) donc les produits scalaires sont bien opposés puisqu'ils sont composés de longueurs égales deux à deux et de cosinus opposés.
Il te reste à déduire que les droites \((DC)\) et \((EB)\) sont perpendiculaires en partant du produit scalaire \(\vec{DC}.\vec{BE}=(\vec{DA}+\vec{AC}).(\vec{BA}+\vec{AE})=\) et on développe ...
Bonne conclusion.