Dm equation cartésienne?

[Vanessa]

Bonjour,
j'ai un Dm à faire et je ne comprends absolument pas ce que je dois faire.
Voila mon sujet:
On se place dans un repère orthonormé (O; (vecteur)i; (vecteur)J)
Soit a,b,c trois nombres réels.
Déterminer, en fonction de a et b, une condition sur c afin que l'équation cartésienne; x²+y²+ax+by+c=0 représente un cercle non réduit à un point.
Pourriez-vous me guider s'il vous plaît?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Vanessa,

L'équation d'un cercle de centre C(r; s) et de rayon R est (x-r)²+(y-s)²=R².
Donc ici, à partir de ton équation x²+y²+ax+by+c=0 il faut trouver une forme qui ressemble à l'équation du cercle.
Voici une aide : x²+ax = (x + ...)² - .... à toi de compléter.

SoSMath.

[Vanessa]

Bonjour Vanessa,

L'équation d'un cercle de centre C(r; s) et de rayon R est (x-r)²+(y-s)²=R².
Donc ici, à partir de ton équation x²+y²+ax+by+c=0 il faut trouver une forme qui ressemble à l'équation du cercle.
Voici une aide : x²+ax = (x + ...)² - .... à toi de compléter.

SoSMath.

Tout d'abord merci de m'aider ensuite je ne suis pas sure de ma réponse mais Est-ce x²+ax=(x+a)²-(y+b)² ?

[SoS-Math(9)]

Vanessa,

pour avoir la réponse développe (x+a)²-(y+b)². Est-ce égal à x²+ax ?

SoSMath.

[Vanessa]

Je trouve x²+2ax+a²-y²+2yb+b² lorsque je développe Est-ce normal? Dois la comparer à l'équation de mon énoncé?

[SoS-Math(9)]

Vanessa,

Ton développement est faux ... (x+a)²-(y+b)² = x²+2ax+a²-(y²+2yb+b²) = x²+2ax+a²-y²-2yb-b².
Et ceci n'est pas égal à x²+ax !

Pourquoi veux-tu avoir y et b dans l'expression x²+ax = (x + ...)² - .... ?
Ici il faut utiliser la forme canonique ... (regarde dans ton cours) pour compléter l'expression x²+ax = (x + ...)² - ....

SoSMath.

[Vanessa]

oh oui bien sure alors x²+ax= (x+ a)²- (a²+4c)/4 ?

[SoS-Math(9)]

Vanessa,

c'est bien l'idée mais ton résultat est faux ...(x+ a)²- (a²+4c)/4 = x² + 2ax + a² - a²/4 + c. (non égal à x²+ax)
C'est quoi le nombre c ? D'où vient-il ?
Attention à ne pas confondre les a, b et c dans ta forme canonique avec les lettres a et b de l'exercice.

SoSMath.

[Vanessa]

J'ai confondu les a et b
donc je l'ai refais et j'ai x²+ax= (x+(a/2))²-a² Je pense que cette fois c'est cela car je l'ai re développé pour être sure et je trouve x²+ax

[SoS-Math(9)]

Vanessa c'est bien mais il y a encore une erreur !
voici la réponse : x²+ax= (x+(a/2))²-(a/2)² .

De même factorise y² + by, puis remplace dans ton équation x²+ax et y²+by par leur expression.

SoSMath.

[Vanessa]

D'accord alors j'ai pour y²+by= (y+(b/2)²)-(b/2)²
donc j'ai remplacé et j'ai ((x+(a/2)²)-(a/2)²)+((y+(b/2))²-(b/2)²)=0 mais après je ne vois pas quoi faire

[Vanessa]

alors je trouve x²+y²+c= o Est-ce cela?

[SoS-Math(9)]

Vanessa,

Tu as un carré mal placé et tu as oublié c !
((x+(a/2)²)-(a/2)²)+((y+(b/2))²-(b/2)²) + c = 0.

Tu obtiens alors (x+(a/2))² + ((y+(b/2))² = (a/2)² + (b/2)² - c

Si c > (a/2)² + (b/2)² alors (a/2)² + (b/2)² - c > 0, donc tu peux poser R² = (a/2)² + (b/2)² - c
Tu trouves alors l'équation de ton cercle : (x+(a/2))² + ((y+(b/2))² = R².

SoSMath.

[Vanessa]

Trés bien merci beaucoup pour votre aide, j'ai finalement réussi à le finir.

[sos-math(21)]

Tant mieux,
Bon courage pour la suite.