geometrie dans l'espace

[manel]

Bonsoir,
J'ai un exercice sur la géométrie dans l'espace à faire mais où je bloque à la methode 1, pourriez vous m'aidez s'il vous plait . Merci

ABCDEFG est un cube. I,J,K,L sont les milieux respectifs des segments [AE], [BG], [EG], [AB].
On se propose de démontrer de deux façons que les points I,J,K et L sont coplanaires.

Methode 1
on note M le milieu de [IJ]

a) démontrer vectoriellement que M est aussi le milieu de [KL]

alors je suppose Chasles mais je n'est troujours pas reussi a trouver.

b) En deduire que I , J, K et L sont coplanaires.

Methode 2

On se place dans le repére ( A,AB,AD,AE)

a) Ecrire chacun des vecteurs IJ,IK,IL en fonction des vecteurs AB,AD et AE
b) En déduire que les points I,J,K,L sont coplanaires
c) Que peut-on en dire du quadrilatère ILJK?

J'ai fait :
a)MK=IK-1/2IJ
ML=1/2 IJ+JL
MK+ML=IK-1/2IJ+1/2IJ +JL
MK+ML+IK+JL
or IK=-1/2IJ
JL=1/2IJ
Donc MK+ML=0

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Manel,

Je te propose d'appeler N le milieu de [BC].

M est le milieu de [IJ] tu as donc \(\vec MI + \vec MJ = \vec 0\).

A l'aide de la relation de Chasles décompose \(\vec MI\) en trois vecteurs utilisant le point K et le point E.
A l'aide de la relation de Chasles décompose \(\vec MJ\) en trois vecteurs utilisant le point L et le point N.

En regroupant les vecteurs de la somme obtenue, et en utilisant les propriétés du cube et des milieux tu dois pouvoir trouver des sommes égales à \(\vec 0\). Il doit te rester \(\vec MK + \vec ML= \vec 0\), tu peux alors conclure.

Ce n'est bien sur qu'une possibilité, il y a d'autres décompositions qui aboutissent au bon résultat.

Bon courage

[manel]

MI=EK-IE+IK
=EK-1/2AE+IK
je n'arrive pas pour MK avec le point N
car on a J le milieu de BG

[SoS-Math(11)]

Ce n'est pas du tout cela, il suffit de prendre des vecteurs qui sont "bout à bout" par exemple \(\vec AB = \vec AC +\vec CD + \vec DB\).

Fais de même avec les indications du courriel précédent, tu n'as pas besoin de 1/2 ni de signe -, vas au plus simple.

\(\vec MI = \vec {M...} + \vec {......} + \vec {...I}\) utilise les bons points (je te les ai donnés) fais de même avec \(\vec MJ\).

Bon courage

[manel]

MI=MK+KE+EI
MJ=MK+KG+GJ

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je suis d'accord mais pour le second vecteur \(\vec MJ\)il faut utiliser une autre décomposition en utilisant le point L et le point N (milieu de [BC].

Tu pourras mieux simplifier la somme des deux vecteurs

Bonne continuation