primitive d'un quotient de fonction

[Jude]

Bonjour,

Je ne parviens pas à démontrer correctement comment déterminer le primitive de la fonction suivante :

\(f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}\)

En effet, dans le formulaire fourni par le professeur pour déterminer les primitives de fonctions composées j'ai :

\(\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) dont la primitive est \(2\sqrt{u(x)}+c\)

Dans un premier temps j'ai donc appliqué (avec \(u(x)=x^2+1\)) : \(F(x) = 2\sqrt{x^2+1}\).

Mais quand je dérive pour vérifier, je vois bien que ça ne colle pas :

\(F'(x) = 2\times\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\).

J'oublie quelque chose ou bien j'interprète mal le formulaire. pouvez me donner une explication sur la façon de déterminer la primitive de cette fonction. Je précise que nous n'avons pas encore abordé le logarithme népérien et que cet exercice doit se résoudre sans.

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Votre raisonnement est juste et dans ce cas, il faut penser à transformer légèrement l'écriture de f(x) pour faire apparaître \(\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\)

\(f(x)= \frac{3}{2}\times\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\).
A vous de continuer .

[Jude]

OK, donc \(F(x) = \frac{3}{2}\times2\sqrt{x^2+1}\) = \(F(x) = 3\times\sqrt{x^2+1}\) et donc pour vérification \(F'(x) = 3\times\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{3x}{sqrt{x^2+1}} = f(x)\).

Là je comprends le calcul avec votre coup de pouce. Mais qu'est-ce qui vous a permis de dégager le coefficient \(\frac{3}{2}\) ? Déterminez-vous préalablement la primitive du numérateur, \(\frac{3}{2}x^2\) ?

[SoS-Math(2)]

Jude, vous avez vu dès le début qu'il fallait utiliser une forme du type
\(\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) dont la primitive est \(2\sqrt{u(x)}+c\)

donc ici, comme vous l'avez si bien calculé, on veut avoir \(\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\).
f(x) = \(\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}\) or \(3 = \frac{3}{2} \times 2\) donc
\(f(x) =\frac{3}{2} \times \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\)

C'est une astuce qui est souvent utilisée dans les calculs de primitives
A bientôt sur SoS-Math