Intégration

[Clara]

Bonjour, voici le sujet :

Soit f la fonction définie sur [0,2] par:

F(x)= (3 exp x -3)/(3exp x -1)

Déterminer deux réels a et b tels que :

F(x)= a + (b exp x )/(3 exp x -1)

Je ne sais pas comment faire , j ai essayé de mettre sous le meme dénominateur de remplacer f(x) mais je n'aboutis pas .
Pouvez vous m'aider ?

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Oui, tu dois réduire la 2éme expression au même dénominateur, développer le numérateur de la fraction obtenue et mettre e^x en facteur ou tu peux dans ce numérateur.

Ensuite tu compares avec l'expression de F donnée au début.

ça te permet d'obtenir un système de 2 équations à deux inconnues a et b.
tu résous ce système , tu dois trouver a=3 et b=-6.

sosmaths

[Clara]

Merci je vais essayer et je vous tiens au courant

[Clara]

Bonjour , je n'arrive pas a comparer avec l'expression de F du début .

Je trouve exp^x(3a+b)-a/ 3 exp^x -1

Je constate que le dénominateur est pareil mais pas le nominateur .

[SoS-Math(25)]

Bonjour Clara,

En effet, tu dois maintenant trouver les valeurs de a et de b pour que les expressions soient égales !

Quelle est ton expression de départ, est-ce : \(~ \frac{3e^x - 3}{3e^x - 1}\) ?

Tu trouves ceci avec a et b : \(~ \frac{e^x(3a + b) - a}{3e^x - 1}\) ?

(En comparant les deux expressions, tu dois tout de suite trouver a !

Bon courage !

[Clara]

Je trouve bien a=3 et b=-6

Ensuite il me demande d'en déduire une primitive de f sur [0,2]

Je voulais savoir si je devais prendre l'expression avec a et b ou la première f(x)
Et aussi est ce qu'il faut que je fasse l'intégrale ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clara,

On a transformé l'expression de la fonction pour pouvoir trouver une primitive ... donc il faut utiliser l'expression avec a et b.
Pourquoi veux-tu faire une intégrale ? C'est inutile sauf si on te le demande.

SoSMath.

[Clara]

D'accord merci

[Clara]

Pouvez vous m'aider pour trouver la primitive ?

J'essaie mais je n'arrive pas .

[SoS-Math(9)]

Clara,

je vais essayer de t'aider. Tu as trouvé \(\ f(x)=3+\frac{-6e^x}{3e^x-1}\).

Qu'est une primitive de la fonction x --> 3 ?
Ensuite pour le quotient, cela doit te faire penser à une forme dérivée connue ... (regarde tes dérivée sur les fonction composées), quelle est-elle ?

SoSMath.

[Clara]

Pour 3 je dirais que la primitive est 3x

Ensuite dans mon cours j'ai

Fonction f : Primitive de f sur I
uu' u au carre /2 + constante
u'/u carre -1/u + constante
u' exp^u. Exp ^u + constante

Je ne vois pas ce que cela peut être ...

[SoS-Math(9)]

Clara,

tu as oublié celle dont tu as besoin !
\(\frac{u^,}{u}\) qui a pour primitive \(ln u\).

SoSMath.

[Clara]

Donc sa serait :

3x- ln (3 exp ^x-1 )

[SoS-Math(9)]

Attention Clara,

Avoir reconnu la forme u'/u veut dire que f(x) = k * u'/u (et non f = u'/u) où il faut déterminer le réel k.

Remarque : si tu dérives ta fonction F(x) = 3x- ln (3 exp ^x-1 ), tu ne trouves pas F = f ' ... donc F n'est pas une primitive de f.

SoSMath.

[Clara]

Je pense que c'est : 3x-2ln(3 exp ^x-1)