Logarithme

[guillaume]

Bonjour , j'ai un problème dans un exercice dès la première question je suis bloqué .

Il s'agit de la limite de x/(ln(x)) en + infinie et en 1.

En + infinie j'aurai fais : limite de x = + infinie et limite ln(x) = + infinie donc limite f(x) = + infinie
J'aurai pensée aussi que c'est une forme indéterminée mais comment faire ? Je ne vois pas ...


En attente de votre aide merci

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Guillaume,

la limite \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{ln(x)}\) est l'inverse d'une limite de référence.

En 1, la limite de cette fonction est de la forme "1/0" qui n'est pas une forme indéterminée ... regarde dans ton cours.

SoSMath.

[guillaume]

Bonjour , merci de m'avoir répondu.

Bonsoir Guillaume,

la limite \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{ln(x)}\) est l'inverse d'une limite de référence.

En 1, la limite de cette fonction est de la forme "1/0" qui n'est pas une forme indéterminée ... regarde dans ton cours.

SoSMath.

Dans mon cours j'ai cette limite :

limite de ln(x)/x = 0
en + infinie

Donc l'inverse serait une limite de zéro en + infinie ?

En 1 , limite de x = 1
en 1 , limite de ln(x) = 0
donc limite f(x)= + infinie ?

cordialement

[SoS-Math(9)]

Bonjour Guillaume,

Tes deux limites (en +inf et en 1) sont de la forme "1/0" ce qui donne + ou- \(\infty\).
IL faut alors déterminer le + ou le - ... pour cela il faut regarder le signe de la fonction autour des valeur +\(\infty\) et 1.

En +\(\infty\), x et ln(x) sont positifs, donc x/ln(x) est positif, donc \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{ln(x)}=+\infty\).

Pour x > 1, ln(x) > ln(1) = 0 (car ln est strictement croissante sur ]0;+inf[), donc x/ln(x) est positif, donc \(\lim_{x\to 1} \frac{x}{ln(x)}=+\infty\).

SoSMath.

[guillaume]

Bonjour , merci pour votre réponse.

J'ai bien compris maintenant pour une limite il était possible de la définir à partir de son signe.

J'ai calculé la dérivée de cette fonction j'aimerai que vus me dîtes si elle est exact ou si elle est fausse ou s'il faut encore la simplifier .

Voici ma réponse : f'(x) = ln(x)x²-xcube (j'aurai peut-être aussi simplifié en faisant une factorisation : x² ( ln(x) -x ) ) ?

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Guillaume,

tu as écrit :"J'ai bien compris maintenant pour une limite il était possible de la définir à partir de son signe." ... ceci est vrai si ta limite est de la forme "1/0".

Ensuite, je ne comprends pas ce que tu veux. Tu veux que je vérifie si ta dérivée est juste ?
Quelle est ta fonction f ?

SoSMath.

[guillaume]

D'accord je retient tout cela. Oui c'est ça je voudrais savoir si ma dérivée est juste pour la fonction f(x) = x/(ln(x)).

merci

[SoS-Math(9)]

Guillaume,

Ta fonction est un quotient, donc sa dérivée ne peut pas être ce que tu as écrit ...
Utilise : \((\frac{u}{v})^,=\frac{u^,v-uv^,}{v^2}\).

SoSMath.

[guillaume]

Oui c'est bien ce que j'ai fais . Je pense avoir un bon début alors mais une simplification inexacte. Je vais détaillé ma dérivée :

u(x) = x
u'(x) = 1
v(x) = ln(x)
v'(x) = 1/x

f'(x) = u/v = ((u'*v)-(u*v'))/(v²)
f'(x) = (1*ln(x) -[x*(1/x)])/((1/x)²) jusqu'ici je pense avoir bon.
f'(x) = (1* ln(x) - x )/((1/x²)) A partir de la je me demande se qu'il faut faire mais j'ai quand même fais cela :
f'x) = (ln(x)-x )* (x²/1) = x²*ln(x) -x² *x = ln(x)x²-xcube

Cordialement

[SoS-Math(9)]

Guillaume,

tu confonds v et v' ....
ton dénominateur est v², soit (ln(x))² ...

SoSMath.

[guillaume]

Alors la c'est une grosse erreur étourderie de ma part.... (j'essaye de corriger mes erreurs de mon bac blanc mais comme ça n'a pas été barré sur la copie je pensais que c'était bon j'ai pas fais attention)

Du coup :
f'(x) = u/v = ((u'*v)-(u*v'))/(v²)
f'(x) = (1*ln(x) -[x*(1/x)])/((ln(x)²)
f'(x) = (ln(x)-x))/((ln(x)) = ((ln(x) / ln(x)) - [ x/ln(x) ])

merci

[SoS-Math(9)]

Guillaume,

tu as écrit : f'(x) = (ln(x)-x))/((ln(x)) où est passé le carré au dénominateur ?

SoSMath.

[guillaume]

je pensais l'avoir simplifié donc ça ferait :

f'(x) = (ln(x)-x))/((ln(x)²) ?

[SoS-Math(9)]

Guillaume,

pour simplifier un quotient, il faut avoir un même facteur au numérateur et au dénominateur ...

donc f'(x) = (ln(x)-x))/((ln(x)²).

SoSMath.