problème limite d'intégrale

[Invité]

Bonjour, fin d'un exercice
infos préalables : g(t) = (t²/2pi - t)/(2sin(t/2)) définie sur o, pi avec g(o)=-1

In= intégrale de 0 à pi de g(t)*sin(n+1/2)t dt pour tout n supérieur ou égal à 1
-pi/2 inférieur ou égal à g(t) luimême inférieur ou égal à -1/2 pour t dans l'intervalle fermé o, pi

pour alpha variant de 0 à pi (strict), on a An (alpha)=intégrale de g(t)*sin(n+1/2)t

Question : il faut montrer par une IPP que lim An (n tend vers + infini) est 0
J'ai tenté avec g,g' et j'ai pris une primitive de sin(n+1/2)t, j'arrive à un truc compliqué, je suppose qu'il faut utiliser les extrema pour g et 1/(n+1/2) tend vers 0 mais pour la partie intégrale, je n'arrive pas à conclure.

je dois déduire valeur absolue de In majorée par alpha* pi/2 (là aussi, je bloque, il faut utiliser je pense l'inégalité de la moyenne mais le alpha? ) et en déduire la limite de (In)
Merci ...
Sophie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Sophie,

Peux-tu utiliser "TeX" pour écrire tes intégrales, factions, ...
car j'ai un peu de mal à comprendre tes expressions mathématiques.

Par exemple : g(t) = \(\frac{\frac{t^2}{2\pi}-t}{2sin(\frac{t}{2})}\) pour t dans ]0,\(2\pi\)[.

Ton "sin(n+1/2)t" = sin\((n+\frac{1}{2})\) ?

Quelles sont les bornes de l'intégrale An ?

Merci pour tes précisions.
SoSMath.

[Invité]

Bonjour, désolée mais je ne comprends le mode d'utilisation de Tex

pour g(t), il s'agit bien de cela mais t est sur [0,pi] et g(0) =-1

pour In = integrale de o à pi de g(t)*sin((n+1/2)t)dt et oui comme écrit, c'est n + (1/2)

t appartenant à ]0,pi[, g(t) minoré par -pi/2 et majoré par -1/2

pour alpha variant de 0 à pi, An(alpha) = integrale de alpha à pi de g(t)*sin((n+1/2)t)dt

Trouver la limite en +infini(n) de An (alpha), on doit trouver 0.Les questions restent les mêmes que dans le premier message

Merci Sophie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Ton exercice parait bien difficile pour une élève de terminale ...
Pour démontrer que \(\lim_{n \to +\infty}A_n(a) = 0\) il faut majorer la valeur absolue de An après avoir fait ton IPP...
De plus, il faut savoir que \(|\int_{a}^{b}f(t)dt|\leq\int_{a}^{b}|f(t)|dt\).
En principe tu dois trouver quelque chose comme :
\(A_n(a)\leq\frac{1}{n+1/2}\times M\) où M est un réel dépendant de a (son expression est compliquée!)

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Merci, je n'ai pas encore essayé car il me faut replonger dans l'exercice, j'avais pensé au sup pour utiliser l'encadrement mais quand on tatonne, on renonce plus vite et l'integrale après Ipp est compliquée.
L'exercice est issu du Terracher niveau terminale...
Sophie