Aire minimale

[Dimitri]

1) Dans un exercice, on me demande de tracer un secteur circulaire de centre O, de rayon R = 8 cm, d'ouverture \(\alpha\) et d'extrémités A et B. On note : mes(AÔB) = \(\alpha\), et le triangle OAB est isocèle en O.

Pourriez-vous me dire si ma construction est correcte s'il vous plaît ?

2) On me demande ensuite d'exprimer en fonction de \(\alpha\) l'aire du triangle OAB.

Je sais que pour calculer l'aire d'un triangle, il faut faire \(\frac{b \times h}{2}\).
Je pense qu'il faut couper le triangle OAB en deux triangles rectangles OAH et OHB égaux. Ensuite, j'utiliserais une relation trigonométrique dans le triangle OAH sachant que l'angle AÔH mesure \(\frac{\alpha}{2}\). Mais je n'ai que cette donnée pour trouver la base [AH] et la hauteur [OH]. Je multiplierais ensuite l'aire du triangle OAH par 2 pour trouver l'aire du triangle OAB.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Dimitri,

Ta figure représente un secteur circulaire, en ce sens elle est correcte.
Pour exprimer l'aire de ce secteur en fonction de \(\alpha\) il faut effectivement le faire comme tu l'as suggéré.
Dans le triangle OHB rectangle en H, tu connais l'angle \(\frac{\alpha}{2}\) et OB=8. La trigonométrie va te permettre d'exprimer OH et HB puis l'aire recherchée en fonction d' \(\alpha\) .

Bonne continuation.

[Dimitri]

Merci beaucoup et pourriez-vous m'expliquer comment écrire un algorithme qui automatise le calcul de l'aire pour un angle de 0 à 180 degré(s) au pas de 1 s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Pour écrire un tel algorithme, il faut faire une boucle allant de 0 à 180 et utilisant la formule que tu as trouvé pour calculer l'aire (pour k allant de 0 à 180, calcule l'aire avec la formule, k prend alors la valeur k+1 et on recommence la boucle).

Je te laisse y réfléchir.

[Dimitri]

Voici mon algorithme :
Variables :
\(\alpha\) : mesure de l'angle en degré(s)
A : aire du triangle OAB
k : compteur
Début algorithme :
Saisir \(\alpha\)
Pour k allant de 0 à 180 faire
64 \(\times\) cos \(\left(\frac{\alpha}{2}\right) \times\) sin \(\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)
Fin pour
Afficher A
Fin algorithme

Est-il correct s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Dimitri,

Il y a quelques erreurs dans ton algorithme.

Pour commencer, \(\alpha\) et le compteur k sont les mêmes valeurs. Ton algorithme est un peu surprenant car il va te donner une suite de valeurs correspondant à l'aire pour un angle de 0° puis 1°, etc...

Variables :
\(\alpha\) : mesure de l'angle en degré(s) pas nécessaire.
A : aire du triangle OAB. est un réel positif
k : compteur pas nécessaire.
Début algorithme :
Saisir
Pour k allant de 0 à 180
faire
affecter à A la valeur 64 cos \(\frac{\alpha}{2}\) sin\(\frac{\alpha}{2}\)
afficher A
Fin pour
Afficher A pas ici sinon il n'affichera que le résultat pour un angle de 180°.
Fin algorithme

Bonne continuation.

[Dimitri]

Variables :
k : compteur de la mesure de l'angle en degré(s)
A : réel positif de l'aire du triangle OAB
Début algorithme :
Saisir k
Pour k allant de 0 à 180 faire
Affecter à A la valeur 64 \(\times\) cos \(\left(\frac{k}{2}\right) \times\) sin \(\left(\frac{k}{2}\right)\)
Afficher A
Fin pour
Fin algorithme

[SoS-Math(7)]

Attention, k est le compteur, il ne faut pas le saisir.
Bonne journée Dimitri.

[Dimitri]

Que dois-je saisir alors s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

La réponse est ta proposition en enlevant juste la variable k ( compteur).

Bonne continuation.

[Dimitri]

Mais dans un algorithme, on ne peut pas avoir un " Saisir " tout seul sans variable.

[SoS-Math(7)]

Enlève le "saisir" puisqu'il n'y a rien à saisir...

Bonne continuation.

[Dimitri]

Variables :
k : compteur de la mesure de l'angle en degré(s)
A : réel positif de l'aire du triangle OAB
Début algorithme :
Pour k allant de 0 à 180 faire
Affecter à A la valeur 64 \(\times\) cos \(\left(\frac{k}{2}\right) \times\) sin \(\left(\frac{k}{2}\right)\)
Afficher A
Fin pour
Fin algorithme

L'algorithme permettant de calculer l'aire du triangle OAB pour un angle de 0 à 180 degré(s) au pas de 1 est-il correct s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Il faut enlever "k compteur...." et pour A, il faut juste mettre "réel positif ". La suite est pour toi, pour savoir ce que représente cette variable.

Bonne continuation.

[Dimitri]

Variables :
A : réel positif
Début algorithme :
Pour k allant de 0 à 180 faire
Affecter à A la valeur 64 \(\times\) cos \(\left(\frac{k}{2}\right) \times\) sin \(\left(\frac{k}{2}\right)\)
Afficher A
Fin pour
Fin algorithme

La variable A représente l'aire du triangle OAB.