QCM nombre complexe

[manon Ts]

Bonjour,
Je bloque pour cette question d'un QCM :
L'ensemble des points d'affixe z telle que z+i/z+1 soit un imaginaire pur est :

la droite (CD) privée du point C,
le cercle de diamètre [CD] privé du point C,
le cercle de diamètre [BD] privé du point C,
la médiatrice du segment [AB]

Ayant vu la réponse, je sais que la réponse correcte est :Le cercle de diamètre [CD] privé du point C.
Avant de voir la réponse j'avais réussi à faire ce qui suit toute seule :
z−(−i)/z−(−1) est un imaginaire pur si et seulement si :
arg(z−(−i)/z−(−1))≡π/2 [mod. π]
c'est à dire :
(vecteur MD; vecteur MC)=π/2.
Mais après avoir fait cela, je ne vois pas comment on peut en déduire la réponse, je ne comprend pas non plus pourquoi le cercle est privé de C.
Pouvez vous m'expliquer ?
Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu te rappelles d'un théorème appris en 3ème.

Tout triangle inscrit dans un demi cercle est un triangle rectangle.

En fait on utilise ce théorème avec sa réciproque.
théorème:
Soit un cercle de diamètre [CD].
M est un point du cercle privé de C et D équivaut à MCD est rectangle en M

Donc : (vecteurMD;vecteurMC)=pi/2 ( mod pi) équivaut à M appartient au cercle de diamètre [CD] privé de C et D.

Que se passe -t-il si M=D ? Alors (z+i)/(z+1) =0 et 0 est un imaginaire pur( qui n'a pas d'argument). Donc D fait parti de l'ensemble cherché.

Que se passe t-il si M=C ? alors le dénominateur de (z+i)/(z+1) est nul et donc l'expression n'a pas de sens . Donc C ne fait pas partie de l'ensemble cherché.


Bilan : l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [CD] privé de C.

sosmaths

[manon term s]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.
Je suis également bloquée pour cette question :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u; v).
1. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : z = 1 - 2i + e^itêta, têta étant un nombre réel.
a. (E) est une droite passant par le point d'affixe 2 - 2i.
b. (E) est le cercle de centre d'affixe -1 + 2i et de rayon 1.
c. (E) est le cercle de centre d'affixe 1 - 2i et de rayon 1.
d. (E) est le cercle de centre d'affixe 1 - 2i et de rayon racine de 5.
Je ne vois pas du tout comment faire. La seule chose que je sais c'est que (x-xomega)+(y-yomega)=R^2 mais je ne vois pas en quoi cela peut me servir. J'ai vu la correction sur internet et je sais que la réponse est la c mais je ne comprend pas pourquoi. Pouvez vous m'expliquer ?

[SoS-Math(4)]

Ton égalité est équivalente à : z-(1-2i)=e^(itéta)

ce qui équivaut à :
les modules de ces deux nombres complexes sont égaux, ainsi que leurs arguments.

Calcule les et tu comprendras la solution donnée.

sosmaths

[manon term s]

Je sais que le module de e^itêta est 1 mais je ne comprend pas pourquoi.
Je sais que e^itêta = cos 0 + isin têta =1 + .... mais je ne vois pas comment compléter la suite.

[SoS-Math(4)]

Donc le module est : (cos(teta))²+(sin(teta))²=1

sosmaths

[manon term s]

D'accord, mais je ne comprend toujours pas pourquoi e^itêta = 1

[SoS-Math(4)]

c'est le module de e^(iteta) qui est égal à 1, car e^(iteta)= cos(teta)+i sin(teta)

sosmaths