théorème de Gauss et de Bézout.

[Valentine]

Bonjour

Je dois faire un exercice mais je n'y comprends quasiment rien.

Vrai ou Faux justifier vos réponses.
1. a+b et a-b sont premiers entre eux. Faux, contre-exemple: a=5 et b=3 on a PGCD(8,2)=2
2. a+b est premier avec a et b;=. Vrai, PGCD(a;b)=PGCD(a+b,b)=PGCD(a,b+a)=
3. a+b est premier avec ab. Je ne sais pas, a est premier avec a+b et b est premier avec a+b donc ab divise a+b.
4. a est premier avec b². Je ne sais pas
5. a est premier avec b^n (n entier naturel non nul) Je ne sais pas
6. a^p est premiers avec b^n (où n et p sont des entiers naturels non nuls) Je ne sais pas
7. tout diviseur de a est premier avec b. Je ne sais pas


Merci de m'aider

[sos-math(21)]

Bonjour,
Quelles conditions as-tu initialement pour a et b ?
Sont-ils premiers entre eux ?
Si on suppose ces deux entiers premiers entre eux, la première réponse est correcte,
la deuxième aussi, pour la troisième prend un diviseur commun p qui divise \(a+b\) et \(ab\). On peut supposer p premier.
donc \(p|a+b\) donc \(p|b(a+b)\) donc \(p|ab+b^2\) donc par soustraction \(p|ab+b^2-ab\) donc \(p|b^2\). Comme on a supposé p premier alors \(p|b\).
De la même manière, \(p|a^2\) et \(p|a\) donc \(p\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\). Comme ils sont premiers entre eux, on obtient une contradiction.
Donc cela permet de conclure que \(a+b\) et \(ab\) sont premiers entre eux.
Une autre façon de voir est d'utiliser le théorème de Bezout : si a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux entiers u et v tels que \(au+bv=1\), en élevant au carré, on a :
\(1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2=...\) : je te laisse factoriser pour faire apparaitre \((a+b)U+abV=1\)
Pour les suivantes, tu peux aussi utiliser le fait que si a et b sont premiers entre eux, alors \(pgcd(a,bc)=pgcd(a,c)\).
Cela fait peut-être beaucoup de propriétés d'un coup...
Bon courage

[Valentine]

Mince j'ai oublié de le préciser, oui a et b sont premiers entre eux.
Je vais lire attentivement votre réponse.

[sos-math(21)]

Prends bien le temps de lire ma réponse, il y a beaucoup de pistes car je ne sais pas quelles sont tes connaissances en arithmétique.
A bientôt

[Valentine]

Je n'ai pas réussi la 3, 6 et 7.

Pour la 3:
\(1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2\)
J'ai factoriser mais je bloque je me retrouve avec \(ab(2uv)+a(au^2+bv^2+bu^2)+b(bv^2-av^2-au^2)\)

Pour la 6 et 7 je ne vois pas comment faire.
Je ne comprends pas pourquoi vous avez écrit : \(pgcd(a,bc)=pgcd(a,c)\)

[sos-math(21)]

Pour l'aide fournie, on a :
\(1=(au)^2+(bv)^2+2abuv=(au)^2 + abv^2 + abu^2+(bv)^2- abv^2 + 2abuv - abu^2=(a+b)(au^2+bv^2)+ab(2uv-u^2-v^2)\), ce qui prouve ce que l'on veut.
Pour a premier avec\(b^2\), tu peux repartir de Bezout : \(1=(au+bv)^2=a^2u^2+2abuv+b^2=a(...)+b^2(...)\).
Continue.

[Valentine]

Merci pour la 3

Oui j'ai réussi la 4.

Mais pas la 6 et 7.

[sos-math(21)]

Pour la 7, c'est plutôt facile avec le théorème de Bezout :
si d est un diviseur de a alors il existe un entier k tel que \(a=dk\) puis dans l'égalité de Bezout : \(.......=1\) soit \(..\times U+ ....\times V=1\) ce qui prouve que ...
Pour la 5 et la 6 on peut reprendre Bezout et l'appliquer à une certaine puissance...
Bonne suite

[Valentine]

Merci j'ai enfin fini l'exercice

Merci encore

[sos-math(21)]

Bonne suite.
A bientôt sur sos-math