inéquation cosinus et sinus

[Saki]

Bonsoir :)

J'aimerai bien savoir comment prouver que (cos x + sin x) < 2 et ainsi que -2 < (cos x + sin x)

Je vous remercie de votre éventuelle aide.
Bonne soirée.

Saki

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il y a une propriété très importante sur ces deux fonctions trigonométriques :
Pour tout réel \(x\), on a \({-1}\leq \cos(x)\leq 1\) et \({-1}\leq \sin(x)\leq 1\).
Cela devrait t'aider.
Bonne continuation.

[Saki]

Bonsoir :)

J'avais déjà utilisé ces propriétés pour démontrer que (cos x + sinus x) est inférieur ou égal à 2 sauf que ce que je dois démontrer c'est que c'est strictement inférieur à 2...c'est en réalité cela qui me pose problème ^^
Merci beaucoup.

[Saki]

Bonsoir :)

J'avais déjà utilisé ces propriétés pour démontrer que (cos x + sinus x) est inférieur ou égal à 2 sauf que ce que je dois démontrer c'est que c'est strictement inférieur à 2...c'est en réalité cela qui me pose problème ^^
Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour l'inégalité stricte, tu peux utiliser le fait que \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\).
Donc cela signifie que si on avait \(\cos(x)+\sin(x)=2\), comme \(\cos(x)\leq 1\) et \(\sin(x)\leq 1\), cela imposerait
\(\cos(x)=1\) et \(\sin(x)=1\) et mènerait à \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=2\), ce qui est contradictoire.
Donc les égalités \(\cos(x)=1\) et \(\sin(x)=1\) sont impossibles simultanément pour un même réel \(x\) donc l'inégalité est stricte.
Je te laisse faire la démarche pour l'autre inégalité.
Est-ce plus clair ?

[Saki]

Oui j'ai compris, merci beaucoup. Le seul problème est "que vient faire cos²x + sin²x = 1 dans le raisonnement ?"
Encore merci

[sos-math(21)]

C'est lui qui permet d'avoir une contradiction : il "empêche" d'avoir les deux valeurs d'avoir une somme égale à 2 (ou -2)..
Comme la somme des carrés vaut 1, alors s'il y en a un des deux qui vaut -1 ou 1, son carré vaut 1 et l'égalité oblige l'autre à être égale à 0.
Par exemple si \(\cos(x)=-1\), alors \(\cos^2(x)=1\) donc \(\sin^2(x)=1-\cos^2(x)=1-1=0\).
Est-ce plus clair ? C'est une sorte de cadre dont ne peuvent sortir le sinus et le cosinus d'un même angle.
Bonne relecture.

[Saki]

D'accord, je viens de comprendre.

Merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Tant mieux,
Bonne continuation.