étude d'une fonction

[Laura]

bonjour,

je n'arrive pas la premiere partie de cette exercice

La fonction f est définie sur [0;1] par f(x)=1+xe^x
a. démontrer que f(x)=0 admet une unique solution noté a dans l'intervalle [0;1] et que 1/2 inférieur à a inférieur à 1
b. en déduire le signe de f sur l'intervalle [0;a]

j'ai réussi à montrer que la fonction a une solution car c'est une fonction continue et 0 est compris dans l'intervalle f(0) et f(1)
mais je n'arrive pas à montrer que a est compris entre 1/2 et 1.

merci d'avance.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour appliquer le TVI, il faudra aussi que tu prouves que ta fonction est strictement monotone sur l'intervalle \([0\,;\,1]\).
es-tu sûre de ta fonction ? Si c'est \(f(x)=1+xe^x\), elle ne vaut jamais 0 sur \([0\,;\,1]\).
Précise cela,, il doit y avoir un problème...

[laura]

c'est écrit dans mon cours que le théroeme des valeurs intermediaires que si f est continue sur [a;b] et si k est un reel compris entre f(a) et f(b) alors l'équation admet au moins une solution apartenant à [a;b]
a=0 et b=1 ici
donc f(0)=1-0*e^0=1
f(1)=1-1*e^1=1-1=0
0 est compris dans cette intervalle

[sos-math(21)]

Donc ta fonction est \(f(x)=1-xe^x\) et c'est plus clair ! (tu avais mis un + dans ton message)
Je suis d'accord avec toi pour ton TVI, mais tu noteras le "au moins une solution".
Ta question demande "une unique solution", et dans ce cas, il faut montrer en plus que ta fonction est strictement monotone sur \([0\,;\,1]\)
\(f(0)=1>0\) et \(f(1)=1-e<0\), donc la solution de f(x)=0 est bien dans \([0\,;\,1]\).
On peut encore restreindre l'intervalle en constatant que\(f\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}}>0\) donc cette solution est bien dans \(\left[\frac{1}{2}\,;\,1\right]\).
Je te laisse rédiger tout cela.

[laura]

merci beaucoup
pour montrer qu'elle est strictement monotone il faut que je calcule sa dérivée et donner le tableau de variation où je donne c que vous avez mis suppérieur à 0 ?
ensuite pour montrer le signe de f(x) sur [0;a] je calcule la dérivée pour donner le signe, je donne les variations pour ensuite donner le signe de f ?

[sos-math(21)]

Tu calcules la dérivée,
tu étudies son signe, tu montres qu'elle est négative sur [0 ; 1] donc ta fonction sera décroissante.
Ensuite tu reprends les éléments que je t'ai fournis.
Pour la signe de f sur \([0\,;\, a]\) : tu pars de \(0\leq x\leq a\), la fonction étant décroissante, elle renverse l'ordre donc en passant aux images on a :
\(f(0).. f(x) ... f(a)\)
Je te laisse conclure.

[laura]

merci beaucoup
donc la dérivée c'est -e^x
donc elleest négative sur [0;1] donc la fonction est décroissante sur [0;1]

pour le signe, on a 0 inférieur à x inférieur à a
donc f(0) supérieur à x supérieur à a
donc f est positif sur [0;a]

c'est ça ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je ne suis pas d'accord avec ton calcul de dérivée ta fonction est de la forme \(1-(x)v(x)\), avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^x\).
Et on sait que la dérivée d'un produit est donnée par \((uv)'=u'v+uv'\).
Reprends cela et réapplique ta démarche qui est correcte (la fin est juste).
Bon courage

[laura]

la dérivée c'est donc -1*e^x-(e^x*-x)=-e^x-xe^x

ensuite on a g(x)=(1+x)/(1+e^x) sur [0;1]
1. démontrez que g'(x)=f(x)/(1+e^x)²
on a g'(x)= u'v - v'u / v² = (1*(1+e^x) - e^x*(1+x))/(1+e^x)² = (1+e^x - e^x - xe^x)/(1+e^x)² = (1-xe^x)/(1+e^x)²

2. en déduire que g est croissante sur [0;a] et que g(a)=a
sur [0;1], 1-xe^x est positif come (1+e^x)² donc la fonction est croissante

mais je n'arrive pas à montrer que g(a)=a. merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ok pour la dérivée, tu dois en déduire son signe et son sens de variation.
Pour le reste c'est bon et pour ta dernière question, il faut que tu te rappelles comment est construit le nombre \(a\) : c'est la solution de \(f(x)=0\) donc on a \(1-ae^a=0\).
Tu as \(g(a)-a=\frac{1+a}{1+e^a}-a=....\) : mets au même dénominateur et tu dois retrouver quelque chose d'intéressant au numérateur.
Bon courage

[Laura]

merci beaucoup.
ensuite, on me demande de montrer par récurence que u(n) inférieur à u(n+1)
j'ai u(k) inférieur à u(k+1)
donc u(k)+1 inférieur à u(k+1)1

pour le dénominateur : u(k) inférieur à u(k+1)
la fonction exponentielle est croissante
e^u(k) inférieur à e^(u(k+1))
e^u(k)+1 inférieur à e^(u(k+1))+1

u(k)+1 / 1+e^u(k) inférieur à u(k+1)+1 / e^u(k+1) + 1

et pour la dernière question je dois en déduire que la suite u(n) converge vers un reel l et determiner la valeur approchée de l
on a sur [0;a], la suite croissante et majorée par a donc elle converge mais je ne sais pas quoi rajouter comme explication pour montrer qu'elle est majorée par a

Comme (un) converge vers l et f est continue en l alors f(l) = l
donc sa limite est g(l)=l mais après je suis bloquée.
merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta suite est bien définie par \(u_{n+1}=g(u_n)\) ?
Tu dois utiliser le sens de variation de g, que tu connais.
Démontre par récurrence la propriété suivante : \(u_{n}\leq u_{n+1}\)
au rang 0 : compare \(u_0\) et \(u_1\) tu auras la propriété au rang 0, c'est l'initialisation
Tu te places ensuite à un rang \(n\) quelconque et tu supposes que la propriété est vraie au rang \(n\) \(u_n\leq u_{n+1}\)
C'est là que tu dois utiliser le sens de variation de \(g\), cela te permettra de trouver l'inégalité au rang \(n+1\), tu auras prouvé l'hérédité.
Il te restera à conclure.
Pour la convergence, cela me semble correct mais pourquoi est-elle majorée par \(a\) ?
Ensuite pour la limite, rappelle toi d'une propriété de \(a\)...
A toi de jouer

[laura]

Merci j ai compris et déjà fait la récurrence mais pour la limite je n arrive pas a la calculer on a montré que la suite est croissante donc elle converge mais après donner l j arrive pas

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta suite étant définie par \(u_{n+1}=g(u_n)\), si tu as montré qu'elle convergeait, alors sa limite \(\ell\) vérifie \(g(\ell)=\ell\).
Or tu as déjà défini un nombre \(a\), tel que \(g(a)=a\).
Ce n'est pas difficile de conclure.
Bonne suite