Probabilités conditionnelles et suites

[Laura]

Bonjour,
Nous avons très rapidement corrigé un exercice en cours hier mais après m'y être repenchée ce matin, je ne comprends pas un élément de la correction.
J'ai essayé de joindre une photo du début de l'exercice (si jamais ce n'est pas lisible, on donne pn+1= 0,8pn + 0,05 et p1=1). Jusque là, j'ai compris mais je bloque pour les questions suivantes (consignes non jointes sur la photo) :
A - On pose pour tout n appartenant à N, qn = pn - 0,25. Démontrer que la suite (qn) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
B - Exprimer (qn) puis (pn) en fonction de n.
C - En déduire la limite de la suite (pn).

Alors j'en ai déduis que (qn+1) = (qn) * 0,8 donc il s'agit bien d'une suite géométrique de raison r=0,8. Concernant le premier terme, est-ce (q0) ou (q1) ? Je pense que c'est plutôt (q1) car il serait impossible de calculer (q0) sachant qu'on ignore (p0) (ai-je tort ?). Par ailleurs, mon professeur a effectivement calculé (q1). On obtient (q1) = 0,75. Jusque là, ça va.
Ça se corse pour la suite, je chercher (qn) en fonction de n, d'après la formule générale : qn= qp*r^n-p, j'en déduis que qn=q1*r^n-1 c'est-à-dire qn= 0,75*0,8^n-1 or mon professeur a indiqué dans sa correction qn=0,75*0,8^n. Je ne comprends plus, pour aboutir à cette formule il a bien du utilisé p0 et non pas p1 ?? Je ne saisis pas.
Merci beaucoup par avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec ton analyse : comme \(p_n\) mesure la probabilité de tirer dans l'urne \(U_1\) à la \(n\)-ième étape, on ne peut que commencer à \(p_1\)
Il y a visiblement une contradiction entre le calcul de \(q_1=0,75\) et la formule \(q_n=0,75\times 0,8^n\), laquelle sous-entendrait que la suite est de premier terme \(q_0=0,75\).
Donc je pense qu'il faut que tu en reparles avec ton professeur.
Bonne continuation.

[Laura]

Merci beaucoup pour votre réponse. À présent, j'ai tenté d'exprimer \(pn\) en fonction de \(n\) et j'obtiens : \(pn = 0,75*0,8^n^-^1+0,25\). Comment puis-je calculer la limite de \(pn\) sachant que je n'ai pas \(n\) mais \(n-1\)? Cela revient-il au même ?

[sos-math(20)]

Oui, cela revient exactement au même puisque :
\(0,8^{n-1}=0,8^n\times 0,8^{- 1}=\frac{0,8 ^n}{0,8^1}=\frac{1}{0,8}\times 0,8^n=1,25 \times 0,8^n\).

Vous pouvez donc appliquer les mêmes théorèmes.

Bon courage

SOS-math