fonction

[guillaume]

Bonjour voici l'exercice :

f est la fonction définie sur R par f(x) = x/x²+x+1
On note C sa courbe représentatif dans un repère orthonormé d'unité 10 cm .

Je n'arrive pas a trouver le calcul a faire pour la question 3 malgré que je sais la démarche.

3A) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n non nul f(1/n) < 1/n+1

Il faut démontrer que f(1/n) = 1 / n+1+1+1/n

f(1/n) =( 1/n)/((1/n)²+1/n+1) = 1/(1/n)+(1/n)+1 Je pense que j'ai une erreur arrivé ici mais je ne sais d'ou elle peut venir.

3B) En déduire par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul 0 <Un < 1/n

Au rang 0 j'y arrive
au rang n j'y arrive
au rang n+1 la ça se complique alors je ne sais pas si j'ai bon ...:

0<un+1<1/n+1
f(1/n) < 1/(n+1)
un+1<1/n+1
Donc : 0<x²+x+1 < 1/n+1

Pouvez vous m'aider ? je vous remercie

cordialement

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Dans 3a) il doit y avoir une erreur, il faut refaire ton calcul.
je trouve f(1/n)=1/((1/n)+1+n)

3)b) je ne peux rien dire la suite u n'est pas définie.


sosmaths

[guillaume]

Merci de votre réponse

3A)
le problème c'est que j'arrive pas a retrouver mon erreur et je ne sais pas comment peut ton supprimé le ² en fait.

3B ) Oups désolé j'ai oublié de dire que Un+1= f(Un)

[SoS-Math(4)]

\(f(\frac{1}{n})=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}\)

A partir de la tu réduis au même dénominateur les 3 fractions qui sont au dénominateur. ( dénominateur commun : n²)

Ensuite tu divises la fraction au numérateur par la fraction au dénominateur en multipliant par l'inverse.

Après simplification tu dois obtenir n/(1+n+n²)

Ensuite tu mets n en facteur au dénominateur et tu simplifie par n, en haut et en bas.

Tu dois alors obtenir 1/(1+n+1/n), ce qui doit te permettre de conclure.

3b) il faut le premier terme de la suite

sosmaths

[guillaume]

3A) Ah oui c'est évident pourquoi ne l’ai-je pas pensé avant mettre au même dénominateur .

3B ) u0= 1

[SoS-Math(4)]

bon, ça m'étonnerait que le premier terme soit u0, je pencherai plutot pour u1.*

En plus je crois bien que l'inégalité 0<Un<1/n est large et non pas stricte.

pour l'hérédité, tu supposes 0<Un<=1/n et tu dois montrer que 0<u(n+1)<=1/(n+1)


tu prends 0<un<=1/n et tu prends l'image par f de ces 3 termes , en justifiant que f est croissante sur [0;1]. Ensuite , tu réfléchis.

sosmaths

[guillaume]

Non non c'est bien U0 oui c'est inférieur ou égal j'ai pas su le faire et je pensais que ça n'avait pas une tres grande importance pour pouvoir réalisé la question. Mais maintenant je saurai que ça a une grande importance quand même.
0<un<=1/n
f(0) <f(un)<=f(1/n)
0<Un+1<=1/n+1
Donc 0<un<=1/n comme la fonction est croissante sur [0;1].

Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te cite :

0<un<=1/n
f(0) <f(un)<=f(1/n) c'est ici que tu dois écrire que la fonction est croissante sur [0 ; 1]
0<Un+1<=1/n+1donc l'hérédité est prouvée
Donc 0<un<=1/n par récurrence

Il faut revoir l'enchainement logique dans ta récurrence mais l'essentiel est là.
Bon courage

[guillaume]

Merci pour votre réponse

[sos-math(21)]

A toi de rédiger.
Bonne continuation