droites et systèmes

[FeuFolet]

Bonjour, j'ai un exercice d'un DM de maths qui me pose souci, merci d'avance pour une quelconque aide de votre part, voici l'énoncé:

On donne les points A (1;0), B (5;0), C (3;2) et D (2;2)

1. Placer ces points dans le plan.
2. Déterminer une équation de chacune des droites (AC), (BD), (AD) et (BC).
3. On note K le point d'intersection des droites (AC) et (BD) en L le point d'intersection des droites (AD) et (BC). Déterminer les coordonnées des points K et L.
4. On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
Calculer les coordonnées de I et de J.
5. Montrer que les points I, J, K et L sont alignés.

Voici ce que j'ai fait:
1.

2.A (1;0) C (3;2)
a = yb - ya / xb - xa = 2-0 / 3-1 = 2/2 = 1
Ainsi
y = x + b
2 = 3 + b
-1 = b

(AC) : y = x - 1

B (5;0) D (2;2)
a = yb - ya / xb - xa = 2-0 / 2-5 = 2/-3
Ainsi
y = 2/-3 x + b
2 = 2/-3 * 2 + b
2 + 4/-3 = b
6/3 + 4/3 = b
10/3 = b

(BD) : y = 2/-3 x + 10/3

A (1;0) D (2;2)
a = yb - ya / xb - xa = 2-0 / 2-1 = 2
Ainsi
y = 2x + b
2 = 2 * 2 + b
2 = 4 + b
-2 = b

(AD) : y = 2x - 2

B (5;0) C (3;2)
a = yb - ya / xb - xa = 2-0 / 3-5 = 2/-2 = -1
Ainsi
y = -x + b
2 = -3 + b
5 = b

(BC) : y = -x + 5

Pour la 3. je bloque :(
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ok pour tes équations de droites.
Les coordonnées du point K vérifient l'équation de (AC) et l'équation de (BD) donc il faut que tu résolves le système :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}y&=&x-1\\y&=&\frac{-2}{3}x+\frac{10}{3}\end{array}\right.\)
Ce sera la même chose pour L.
Bon courage.

[Invité]

Bonjour,
Ok pour tes équations de droites.
Les coordonnées du point K vérifient l'équation de (AC) et l'équation de (BD) donc il faut que tu résolves le système :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}y&=&x-1\\y&=&\frac{-2}{3}x+\frac{10}{3}\end{array}\right.\)
Ce sera la même chose pour L.
Bon courage.

Alors voila pour K (x;y):
<=> y = x - 1

y = -2/3 x + 10/3

<=> x = y + 1

y = -2/3(y+1) + 10

<=> x = y + 1

y = -2/3 y - 2/3 + 10/3

<=> x = y + 1

y + 2/3 y = 8/3

<=> x = y+1

5/3 y = 8/3

<=> x = y+1

5y = 8

<=> x = 8/5 + 1 = 8/5 + 5/5

y = 8/5

<=> x = 13/5

y = 8/5

K( 13/5 ; 8/5 )

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

La réponse est juste.

SoSMath.

[Invité]

Bonsoir,

La réponse est juste.

SoSMath.

ok merci mais pour la deuxième j'ai du mal à la faire ? :(

[FeuFolet]

Ah c'est bon

y = 2x - 2
y = -x + 5

<=> y = 2x - 2
x= -y+5

<=> y= 2(-y+5)-2
x= -y + 5

<=> y= -2y+10-2
x= -y +5

<=> 3y= 8
x= -y+5

<=> y= 8/3
x= -8/3 +5= -8/3 + 15/3

<=> y= 8/3
x= 7/3

L(7/3 ; 8/3)
est-ce bon?

[sos-math(21)]

Les coordonnées de L sont correctes aussi.
Bonne continuation.

[Invité]

Les coordonnées de L sont correctes aussi.
Bonne continuation.

4.
I(x;y) :
I= [ (Xa+Xb)/2 ; (Ya+Yb)/2 ]
I= [ (1+5)/2 ; (0+0)/2 ]
I= ( 3;0 )

J= [ (Xc+Xd)/2 ; (Yc+Yd)/2 ]
J= [ (3+2)/2 ; (2+2)/2 ]
J= ( 5/2; 2 )
J= ( 2.5; 2 )

[sos-math(21)]

Cela me parait correct.
Bonne suite

[FeuFolet]

Faut il calculer l'équation de chaque droite et si elles sont égales alors I, J, K, L seront alignés?

[sos-math(21)]

Tu peux déterminer l'équation d'une de ces droites, par exemple (IL) et vérifier que les deux autres points J et K appartiennent à cette droite en montrant que les coordonnées de J et K vérifient cette équation.
Cela limite les calculs.
Bon courage

[Invité]

Tu peux déterminer l'équation d'une de ces droites, par exemple (IL) et vérifier que les deux autres points J et K appartiennent à cette droite en montrant que les coordonnées de J et K vérifient cette équation.
Cela limite les calculs.
Bon courage

I (3;0)
J(5/2;2)

a= (2-0)/(5/2 - 3/1)
a= 2/(-1/2)
a= 2* -2 = -4

I (3;0) --> y= ax+b
0 = -4*3+b
0 = -12+b
12=b

y= -4x+12

Vérification avec le point K (13/5 ; 8/5) :
8/5 = -4* (13/5) +12
8/5 = (-52/5) + (60/5)
8/5 = 8/5

Vérification avec le point L (7/3 ; 8/3) :
8/3 = -4* (7/3) +12
8/3 = (-28/3) + (36/3)
8/3 = 8/3

comme les coordonnées de K et de L vérifient bien l'équation alors les points I, J, K et L sont alignés .
est ce cela ?

[FeuFolet]

je pense que c'est ça non?

[SoS-Math(4)]

C'est bien ça. Bravo!

sosmaths

[Invité]

C'est bien ça. Bravo!

sosmaths

Merci beaucoup sosmaths c'est sympa de votre part de m'avoir aidé!
à bientot :)