fonction exponentielle

[lucie]

bonjour,

serait il possible me dire si j'ai bon ?

Etudions l'évolution de la vitesse d'une population d'oeufs et de larves de papillons au cours du temps.
un laboratoire de recherche modélise le nombre M d'oeufs vivants pondus : M(t)=M0*e^-0.3t on a t appartenant à [0;+l'infini[, t est le temps et M(t) est le nombre d'oeufs à t.

1. Proposer une interpretation concrété de M0 : il y a dejà des oeufs qui ont pondus alors que on a pas encore modélisé de nombres d'oeufs vivants
2. M0=1000, etudier les variations de la fonction M
on dérive on a -0.3*e^-0.3t donc sa dérivée est négative donc la fonction sera décroissante
3. Donner sa limite en + l'infini
lim=0 car lim 1000=1000 et lim e^-0.3t = 0
4. Résoudre M(t)=1/2No

5. La fonction N définie sur [0;+l'infini[ associe à l'instant t le nombre de larves vivantes est définie par N(t)=q1e^-0.2t+q2e^-0.3t q1 et q2 sont des constantes fixes
Determiner q1 et q2 où N(0)=M0 et N'(0)=300
je n'ai pas réussi là

6. Demontrer que pour tout nombre rééel positif N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)
je n'ai pas réussi car je ne sais pas si N' est la dérivée ?

7. on note a le nombre reel où e^a=4/5
demontrer que N admet un maximum et le donner

merci d avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lucie,

Le début semble juste.

Question 5) : tu as \(N(t)=q_1e^{-0.2t}+q_2e^{-0.3t}\)
Donc \(N(0)=q_1e^{-0.2\times 0}+q_2e^{-0.3\times 0}=...\)

Pour utiliser N'(0), il faut commencer par dériver la fonction N.

Voila pour commencer.

SoSMath.

[Lucie]

merci beaucoup
N(0)=q1*e^0+q2*e0
= q1*1+q2*1
=q1+q2

N'(t)=q1-0.2e^-0.2t-q20.3e^-0.3t
N'(0)=-q10.2e^-q20.2*0-0.3e^-0.3*0
= -0.2q1-0.3q2

on met un systeme d'équation
q1+q2=1000
-0.2q1+-0.3q2=300

d'après l'équatio 1, on a q1=1000-q2
en substituant dans 2, on obtient
-0.2(1000-q2)+-0.3q2=300
-200+0.2q2-0.3q2=300
-200-0.1q2=300
-0.1q2=500
q2=5000

5000+q2=1000
q2=-4000

mais quand je remplace je ne trouve pas pareil, je ne trouve pas mon erreur je pense sur la dérivée ...

merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta démarche est correcte mais tu as fait une erreur de signe :

-0.1q2=500
q2=5000

Tu dois avoir \(q_2=-5000\) (tu as oublié le signe - !) donc \(q_1=6000\) et là cela doit marcher.
Reprends cela .

[lucie]

merci beaucoup

donc pour la question suivante, démontrer que
N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)

j'ai fait :
N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)=-1200e^-0.2t+1500e^-0.2t-0.1t
=-1200e^-0.2t+1500e^-0.3t

on retrouve d'après la question precedente N'(t)=q1e^-0.2t+q2e^-0.3t
q1=6000 et q2=-5000

donc N'(t)=6000*-0.2e^-0.2t-5000*-0.3e^-0.3t==-1200e^-0.2t+1500e^-0.3t
mais je ne comprends pas normalement la dérivée de q1 et q2 c'est 0 comme c'est une constante ?

[lucie]

car pour la dérivée si on applique la forule (fg)'=f'g+g'f on ne retrouve plus la meme dérivée

[sos-math(21)]

Dans ce cas,
tu as un nombre réel qui multiplie une fonction.
Dans ce cas il ne faut pas trop s'occuper des constantes : \(\left(q_1\times f(t)\right)'=q_2\times f'(t)\)
Donc tu calcules la dérivée "tout simplement".
Ton calcul est juste et il ne faut pas trop se poser de question.
Bon courage

[lucie]

merci beaucoup.
par contre pour la dernière question :
on note a le nombre reel où e^a=4/5
demontrer que N admet un maximum et le donner

je ne voit vraiment pas comment faire. j'ai essayer avec la résolution d'équation f(x)=k en montrant que la fonction est continue mais ça n'a aboutit à rien.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Ta dérivée est égale à \(N'(t)=-300e^{-0,2t}\times (4-5e^{-0,1t})\)
Les extrémum (maximum ou minimum) sont à chercher aux valeurs où cette dérivée s'annule : elle s'annule lorsque \(4-5e^{-0,1t}=0\) donc lorsque \(e^{-0,1t}=\frac{4}{5}\)
Donc lorsque \({-0,1}t=a\) donc \(t=...\). Je te laisse terminer, il s'agira de tout exprimer en fonction de \(a\) lorsque tu calculeras l'image du nombre trouvé juste avant....
Bonne continuation.

[Lucie]

Merci beaucoup. J ai trouvé t=-a/0,1 ensuite il faut remplacer dans N' ? Si oui, j'ai trouvé -300e^-0,2*-a/0.1 = -1200e^2a+1200e^a mais je n 1i pas compris ce qu il faut faire après

[sos-math(21)]

Tu trouves donc : \(t=a\div (-0,1)=-10a\)
Ensuite, il faut remplacer dans l'expression de la fonction de départ : \(N(t)=6000e^{-0,2t}-5000e^{-0,3t}\)
Il faudra ruser un peu en écrivant que \(e^{-0,2t}=e^{-0,2\times(-10a)}=e^{2a}=\left(e^a\right)^2=\left(\frac{4}{5}\right)^2\), car on sait que \(e^a=\frac{4}{5}\)
Même type de calcul pour \(e^{-0,3t}\).
Bon courage.

[lucie]

Merci beaucoup on a donc e^3a=(4/5)^3 je remplace ensuite dans N ? Mais le résultat nous servira à quoi? Merci

[sos-math(21)]

Le nombre que tu vas calculer est le nombre maximum de larves vivantes qu'il est possible d'avoir.
C'est toujours intéressant de connaître le maximum d'une population vivante....

[lucie]

Merci donc je remplace et je trouve : -300×(4/5)^2(4-5×e^-10alpha) c est ca car je vois pas comment remplacer le -0,1

[lucie]

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