Bonjour, voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive malheureusement pas à réaliser :
ABCD est un parallélogramme tels que : vecteur BE = 1/2 vecteur AB et vecteurAF = 3 vecteur AD.
a) Faire une figure.
b) Démontrer que : vecteur CE = 1/2 vecteur AB+ vecteur DA et que vecteur EF = 3/2 vecteur BA+3 vecteur AD.
c) En déduire que les points C,E,F sont alignés.
Merci beaucoup pour votre aide !
Exercices sur les vecteurs !
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Sulivan
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sos-math(21)
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Re: Exercices sur les vecteurs !
Bonjour,
As-tu déjà réussi à faire la figure ? Cela te permettra de voir le placement des points et te convaincre que les points C, E, F, son effectivement alignés.
Pour les expressions vectorielles, il faut utiliser la relation de Chasles et le fait qu'on ait un parallélogramme :
Par exemple \(\vec{CE}=\vec{CB}+\vec{BE}\), comme ABCD est un parallélogramme, \(\vec{CB}=\vec{??}\).
Et de plus par construction, \(\vec{BE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).
Cela te donnera la première relation.
A toi de faire un travail semblable pour la deuxième relation.
Ainsi tu auras tes deux vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{EF}\) exprimés en fonction des deux mêmes vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) (au sens près).
Il te restera ensuite à prouver que ces deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire trouver un nombre \(k\), tel que \(\vec{EF}=k\vec{CE}\) : les coefficients trouvés dans les deux égalités vectorielles devront t'aider à trouver ce nombre \(k\).
L'alignement des points s'en déduira automatiquement.
Bons calculs
As-tu déjà réussi à faire la figure ? Cela te permettra de voir le placement des points et te convaincre que les points C, E, F, son effectivement alignés.
Pour les expressions vectorielles, il faut utiliser la relation de Chasles et le fait qu'on ait un parallélogramme :
Par exemple \(\vec{CE}=\vec{CB}+\vec{BE}\), comme ABCD est un parallélogramme, \(\vec{CB}=\vec{??}\).
Et de plus par construction, \(\vec{BE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).
Cela te donnera la première relation.
A toi de faire un travail semblable pour la deuxième relation.
Ainsi tu auras tes deux vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{EF}\) exprimés en fonction des deux mêmes vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) (au sens près).
Il te restera ensuite à prouver que ces deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire trouver un nombre \(k\), tel que \(\vec{EF}=k\vec{CE}\) : les coefficients trouvés dans les deux égalités vectorielles devront t'aider à trouver ce nombre \(k\).
L'alignement des points s'en déduira automatiquement.
Bons calculs
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Sulivan
Re: Exercices sur les vecteurs !
Bonjour et merci de m'avoir répondu !
Non, je n'ai as réussit à faire la figure car je ne comprend pas comment on fait pour calculer les vecteur Be et AF sans un minimum de coordonnées !
Non, je n'ai as réussit à faire la figure car je ne comprend pas comment on fait pour calculer les vecteur Be et AF sans un minimum de coordonnées !
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sos-math(21)
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Re: Exercices sur les vecteurs !
Bon,
Pour construire le vecteur \(\vec{BE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).
les deux vecteurs sont colinéaires et ont le point B en commun donc le point E est sur la droite (AB).
Ils ont le même sens et la norme de \(\vec{EF}\) est égale à la moitié de celle de \(\vec{AB}\).
Tu pars donc du point B et tu reportes la moitié de la longueur du segment [AB] :
Je te laisse faire le deuxième point.
Pour construire le vecteur \(\vec{BE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).
les deux vecteurs sont colinéaires et ont le point B en commun donc le point E est sur la droite (AB).
Ils ont le même sens et la norme de \(\vec{EF}\) est égale à la moitié de celle de \(\vec{AB}\).
Tu pars donc du point B et tu reportes la moitié de la longueur du segment [AB] :