Exponentielle et Suite

[Casu]

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour une question de l'exercice 86 page 105 du livre Transmath Term S

Partie C.
On considère la suite (un) définie par :
\(u_{o}=\frac{1}{2}\) et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1} = f(un)\)
2. Démontrez que pour tout n entier naturel :
b) \(u_{n}-1\leq (\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)\)

Dans les questions précédentes, on a prouvé que :
\(g(x) = e^{x} - x - 1\)
\(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}\)
pour tout x de \([\frac{1}{2};1],\) \(\frac{1}{2}\leq \frac{1}{e^{x}-x} \leq \frac{9}{10}\)

Je ne trouve pas comment il faut faire pour démontrer la question 2.b). Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

[sos-math(12)]

Bonjour

Il est difficile de répondre sans plus d'informations. Les modérateurs de SOS-Maths n'ont pas la bibliothèque complète des livres de maths.
Il me faudrait donc l'énoncé complet pour pouvoir de tonner une piste, et surtout savoir ce que tu as déjà fait et proposé comme démarche.

Bonne continuation.

[Casu]

Bonjour,
j'ai répondu à toutes les autres questions. Voici l'énoncé complet :
"A. La fonction g est définie sur l'intervalle [0 ;\(\infty\)[ par :
\(g(x) = e^{x}-x-1\)
1. Étudiez les variations de g.
2. Déterminez le signe g(x) sur \([0; \infty[\).
3. déduisez des questions précédentes que :
a) Pour tout x de \([0 ; \ìnfty[\), \(e^{x}-x>0\);
b) pour tout x de \([\frac{1}{2};1], \frac{1}{2}\leq \frac{1}{e^{x}-x} \leq \frac{9}{10}\)

B. On considère la fonction f définie sur I=[0;1] par \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x}\). On a tracé ci-après sa courbe représantative dans un repère orthonormé.
1.a) Démontrez que pour tout x de I,\(f'(x) = \frac{h(x)}{e^x-x)²}\) où h est une fonction que l'on déterminera.
b) Étudiez les variations de h sur I et déduisez-en celles de f.
c)Démontrez que pour tout x de I \(f(x) \in I\).
2. On note la droite delta d'équation y = x.
a) Démontrez que pour tout x de I \(f(x)-x = \frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}\)
b) Déduisez-en la position relative de C et delta sur I

C. On considère la suite (un) définie par :
\(u_{o}=\frac{1}{2}\)et pour tout entier naturel n,\(u_{n+1} = f(un)\)
Reproduisez la figure ci-dessus et tracez delta.
Construisez sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite\((u_{n})\). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de la suite\((u_{n})\) ?
2. Démontrez que pour tout n entier naturel :
a) \(\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1\) ;
b) \(u_{n}-1\leq (\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)\)
3. La suite\((u_{n})\) est-elle convergente ? Le résultat est-il conforme à votre conjecture ?"

J'ai remarqué que le 9/10 était déja utilisé dans le 3.b) du A. et que la forme \((\frac{9}{10})^{n}(u_{0}-1)\) correspond à une suite géométrique. Aussi, je vois sa représentation graphique mais je ne vois pas comment on pourrait démontrer l'inéquation.

Pour la C.2.a) j'ai répondu que :
Pour tout \(n \in\) aux entiers naturels ;
comme \(u_{n+1}=f(u_{n})\) et que \(f(u_{n})\) est croissante alors \(u_{n}\) est croissante
On peut donc dire que \(u_{n}\leq u_{n+1}\) ;
Comme\(u_{0}`\frac{1}{2}\) et que \(u_{n}\) est croissante \(\frac{1}{2}\leq u_{n}\)
\(\lim_{x \to +\infty} f(u_{n}) = 1\)
donc \(u_{n+1} \leq 1\)
donc \(\frac{1}{2}\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1\)

Mais je ne sais pas si c'est une bonne justification.

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Concernant votre première question, partie C question 2)b), il faut utiliser un raisonnement par récurrence.

Bon courage

SOS-math