Congruences

[Sylvie]

Bonsoir

J'ai des difficultés à faire un exercice, j'aimerais donc votre aide svp

Quels sont les entiers naturels non nuls pour lesquels n*7^n+4n+1 est divisible par 8 ?


Voilà ce que j'ai fait pour l'instant, je n'arrive pas à conclure

congruence.png (9.51 Kio) Vu 1279 fois

Merci à vous

[sos-math(21)]

Bonjour,
La démarche est correcte mais il y a une erreur :
- pour n pair (\(n=2p\)) : on a \(7\eq -1\[8]\) donc \(7^{2p}\eq 1\,[8]\) donc \(n*7^n+4n+1\eq 2p+8p+1\eq 2p+1\,[8]\) donc clairement ce nombre n'est jamais divisible par 8 (il est impair)
- pour n impair (\(n=2p+1\)) : on a \(7\eq -1\[8]\) donc \(7^{2p+1}\eq -1\,[8]\) donc \(n*7^n+4n+1\eq -2p-1+8p+4+1\eq 6p+4\,[8]\)
A toi de voir pour quelle forme de \(p\), \(6p+4\) est divisible par 8, tu retrouveras ensuite la forme de \(n=2p+1\).
Bon courage

[Sylvie]

Merci

j'ai trouvé que 6p+4 est divisible par 8, pour p=2 et p=6 donc pour n=5 et n=13

donc pour n=8k+5 (j'ai trouvé ce résultat intuitivement, je ne sais pas comment le justifier)

[sos-math(20)]

Attention, Sylvie, ce n'est pas seulement p = 2 ou p = 6. Que penses-tu de p=10 ? de p = 14 ?
Comment avais-tu raisonné pour trouver p = 2 et p = 6 ?

A bientôt sur SOS-math

[Sylvie]

Ah je crois avoir compris
p=8k+2 ou p=8k+6

or n=2p+1 donc n=2(8k+2)+1=16k+5 ou n=2(8k+6)+1=16k+13
Or 16k+5 et 16k+5 sont congrus à 8k+5 modulo 8

Le raisonnement est correct ?


Merci encore

[sos-math(20)]

Oui, c'est bien cela.

Bonne fin de soirée