Congruences

[Sylvie]

Bonjour

J'aimerais avoir quelques éclaircissements concernant un exo

Dans un corrigé il y a écrit "On déduis donc que 7x² – 4y² ne peut pas être congru à 1 modulo 4 ainsi, l’équation 7x² – 4y² = 1 n’a pas de solution."

Je ne comprends pas le lien, la conséquence.
Je ne comprends pas comment on peut conclure que 7x² – 4y² = 1 n'a pas de solution à partir des congruences.


Merci de m'aider

[SoS-Math(4)]

BOnjour,

7x²-4y² n'est pas congru à 1 modulo 4 . Or 1 est congru à 1 modulo 4. Donc on ne peut avoir l'égalité 7x²-4y²=1. cette équation n'a donc pas de solution

sosmaths

[Sylvie]

Désolé je ne comprends toujours pas le lien :/

[SoS-Math(4)]

je vais essayer autrement :

Quand deux nombres entiers sont égaux, alors ils ont le même reste dans la division par 4

Donc s'il y a une solution à 7x²-4y²=1, ça signifie qu'on peut trouver x et y tels que 7x²-4y² et 1 ont le même reste dans la division par 4.

Or le reste de 1 dans la division euclidienne par 4 est 1.
Donc le reste de 7x²-4y² doit aussi avoir pour reste 1 dans la division par 4.

Or il a été établi que 7x²-4y² ne peut être congru à 1 modulo 4, donc ne peut avoir 1 comme reste dans la division par 4.

Donc l'équation 7x²-4y²=1 n'a pas de solution.

sosmath

[Sylvie]

Merci
Vous êtes génial, j'ai tout compris grâce à vous !


Juste une dernière question, l’exercice a pris modulo 4, est-ce qu'on aurait pu prendre un autre modulo ?

[SoS-Math(4)]

on a pris modulo 4 car de cette manière on arrive à montrer l'inéxistence des solutions.

Avec un autre nombre à la place de 4, il est probable que ce n'aurait pas été possible.

sosmaths

[Sylvie]

Merci

Prouvez que des nombres sont congrus au même nombre modulo n, ne prouve pas qu'ils sont égaux, mais juste qu'ils ont le même reste dans la division avec n (et peuvent être égaux selon les valeurs prises)
Toutefois, prouvez que des nombres ne sont pas congrus au même nombre modulo n prouve qu'ils ne peuvent jamais être égaux.

C'est ça le raisonnement, non ?

[SoS-Math(4)]

tout à fait.

sosmaths