Matrices

[Marine T]

Bonsoir à tous, j'ai un soucis avec cet exercice de Dm en spé :

Voici l'énoncé : On considère la matrice 3*3 :
M= (3 -1 1
-1 3 1
1 -1 3)
a) On pose B=M-3I Calculer B^3 et en déduire B^k pour tout k de N.
b) Déterminer alors l'expression de M^n en fonction de n
c) M est elle inversible ? si oui, déterminer son inverse.

ce que j'ai fait :

a) j'ai calculé les premières valeurs de B et je remarque que pour des n pairs, B^n=B² et que pour des n impairs, B^n=B^3. Comment en déduire une forme générale?
b) M=B+3I
M^n=(B+3I)^n mais il me manque B opur continuer

c) faut il prendre une valeur particulière de n ou M^n ?

Merci !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marine,

Pour la question a), tu as fait une conjecture et c'est très bien. Maintenant il faut la démontrer par récurrence ...
Soit la propriété Pn : pour tout entier n > 0, \(B^{2n}=B^2\) et \(B^{2n+1}=B\) (NB : B^3 = B).
A toi de continuer !

Pour la question b), je ne vois pas comment trouver avec le programme de la TS .... je continue à chercher.

Pour la question c), Il faut que tu trouves (si elle existe) une matrice N tel que MN = NM = I .... Pour cela utilise le fait que B^3 = B et B = M-3I.

SoSMath.

[Marine]

Bonjour et merci :

a) ok pour la démonstration je vois comment faire, en gros il faut que je montre dans l'hérédité que B^(2n+2)=B² et que B^(2n+3)=B

b) notre prof nous a donné des sommes qui ne sont pas au programme mais pour ceux qui voulaient essayer on pouvait c'est à dire des sommes du type triangle de pascal, Newton. Je ne maitrise pas à 100% mais je vaux bien essayer de comprendre au moins !
c)B^3 = B et B = M-3I.
B^3 = (M-3I)^3=B
je vois ce qu'il faut trouver, un résultat du type AA-1=I et donc en déduire A^1 mais ici ça me parait difficile

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marine,

Pour la question c), développe (M-3I)^3 ...

Pour la question b), j'ai trouvé l'expression de M^n et en effet elle utilise des sommes du type de Pascal ... ce n'est pas très facile !
Je te laisse chercher un peu !

SoSMath.

[Marine]

c) (M-3I)^3=M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3=M^3+3M²(3I)+3M(3I)+(3I)

b) Somme de k=0 à n de C(k,n) de B^n(3I)^(n-k)

[SoS-Math(9)]

Marine,

Il faut faire attention .... (3I)^3 n'est pas égale à 3I mais à 3^3*I soit 27 I !!! (même remarque pour (2I)^2 ...)
De plus il faut réduire tes calculs : 3M²(3I)+3M(3I)² = ...
Ensuite tu as : B = (M-3I)^3 <=> M-3I = (M-3I)^3
Tu peux alors exprimer la matrice I en fonction de la matrice M et donc en déduire M^(-1).

SoSMath.

[Marine]

3M²(3I)+3M(3I)² = ...9M²+27M=M(9M+27I) sauf erreur de ma part

Or M-3I = (M-3I)^3
M-(M-3I)^3 =-3I
-1/3(M-M(9M+27I))=I
-1/3(M(-9M-26I))=I donc M^-1) -1/3(-9M-26I)

[SoS-Math(9)]

Marine,

On a bien 3M²(3I)+3M(3I)² = 9M²+27M
Mais, encore une fois il faut faire attention ...
M-(M-3I)^3 n'est pas égale à M-M(9M+27I) ... reprend ton expression trouvée M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 (qu'il faut simplifier).

SoSMath.

[Marine]

Donc :

M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 = M^3+9M²+7M+9I

donc M-M^3-9M²-7M-9I= -M^3-9M²-6M-9I=M(-M²-9M-6I)-9I

M(-M²-9M-6I)-9I=-3I
M(-M²-9M-6I)=6I

donc M^-1=1/6(-M²-9M-6I)

[SoS-Math(9)]

Marine,

tu es vraiment étourdie !
(M-3I)^3 est différent de (M+3I)^3 ....
Tu as trouvé (M+3I)^3 = M^3+3M²(3I)+3M(3I)²+(3I)^3 = M^3+9M²+27M+27I ... deux erreurs !

Je te donne les résultats suivants : (M-3I)^3 = M^3 - 9M² + 27M - 27I.

\(M^n=\begin{pmatrix} 4^n+2^n-3^n & 3^n-4^n & 3^n-2^n \\ -3^n+2^n & 3^n & 3^n-2^n \\ -3^n+4^n & 3^n-4^n & 3^n \end{pmatrix}\)
Cette formule est compliquée à démontrer ...


SoSMath.

[Marine T]

merci je vais réessayer

[sos-math(21)]

Bon courage pour les calculs.
A bientôt sur sos-math