Bonjour,
Pouvez vous me dire si j'ai fais des erreurs dans ce que j'ai commencé
s'il vous plait ?
f est la fonction definie sur R par f (x) =3(x-1)^3/3x^2+1
Cf est sa courbe representative dans un repere orthonorme.
1. Etudier les limites de f aux voisinages de +00 et -00
lim x->+00 de x((1-1/x^3)+(1-1/x^3)+(1-1/x^3))/(3+1/x^2)=+00
lim x->-00 de x((1-1/x^3)+(1-1/x^3)+(1-1/x^3))/(3+1/x^2)=-00
2. Etudier les variations de f .
3(x-1)^3/3x^2+1
=3x^3-3/3x^2+1
j'arrive a u/v
u=3x^3-3 u'=9x^2
v=3x^2+1 v'=6x
f'(x)=u'v-uv'/v^2
=9x^2*(3x^2+1)-(3x^3-3)6x
=(27x^4+9^x2)-18x^4-18x/(3x^2+1)^2
=9x^4+9x^2+18x/(3x^2+1)^2
=9x^4+9x^2+18x/(9x^4+1)
je trouve une fonction bizzare sur ma calculatrice
pour moi cette fonction est croissante f'(x)>0
3. Determiner l'equation de la tangente T a Cf au point d'abscisse 0.
(a) Determiner les reels a, b et c tels que pour tout reel x, f (x) = ax + b +cx/3x^2+1
(b) Etudier la position relative de la courbe Cf par rapport a la droite D
d'equation y = x 3.
Indication : On pourra etudier le signe de f (x)- (x -3).
(c) Calculer lim x->-00 f (x)-(x - 3) et lim x->+00 f (x)-(x -3).
Interpreter graphiquement ces limites.
4. Tracer Cf, D et T dans un repere orthonorme.
Merci d'Avance
Fonction
-
sos-math(21)
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Re: Fonction
Bonsoir,
Première chose : \((x-1)^3\neq x^3-1^3\) donc ta dérivée est fausse..
Pour les limites, je te conseille l'écriture \(f(x)=\frac{\left(3x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right)^3}{3x^2+1}=\frac{3x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)^3}{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
Je te laisse reprendre la démarche que tu avais faite au début mais avec cette expression.
Corrige déjà cela.
Première chose : \((x-1)^3\neq x^3-1^3\) donc ta dérivée est fausse..
Pour les limites, je te conseille l'écriture \(f(x)=\frac{\left(3x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right)^3}{3x^2+1}=\frac{3x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)^3}{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
Je te laisse reprendre la démarche que tu avais faite au début mais avec cette expression.
Corrige déjà cela.
-
Pierre
Re: Fonction
Bonsoir,
Je vient de corriger est ce bon ?
1. Etudier les limites de f aux voisinages de +00 et -00
\(f(x)=\frac{\left(x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right)^3}{3x^2+1}\)=\(\frac{x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)^3}{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
x^2*x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\)
lim x->+00 (1-1/x)=1 Par composition lim x->1 x^3=1
lim x->+00 x= +00 Par produit lim x->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3\)=+00
lim x->+00 (3+1/x^2)=3
Par quotient lim x ->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\) =+00
lim x->-00 (1-1/x)=1 Par composition lim x->1 x^3=1
lim x->-00 x= -00 Par produit lim x->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3\)=-00
lim x->-00 (3+1/x^2)=3
Par quotient lim x ->-00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\) =-00
2. Etudier les variations de f
3(x-1)^3/3x^2+1
=3(x^2-2x+1)(x-1)/3x^2+1
=3(x^3-x^2-2x^2+2x+x-1)/3x^2+1
=3(x^3-3x^2+3x-1)/3x^2+1
=(3x^3-9x^2+9x-3)/3x^2+1
j'arrive a u/v
u=(3x^3-9x^2+9x-3) u'=9x^2-18x+9
v=3x^2+1 v'=6x
f'(x)=u'v-uv'/v^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-(3x^3-9x^2+9x-3)(6x)/(3x^2+1)^2
(18x^4-63x^3+9)/(3x^2+1)^2
J'aimerai savoir si ma dérivé est juste
Merci
Je vient de corriger est ce bon ?
1. Etudier les limites de f aux voisinages de +00 et -00
\(f(x)=\frac{\left(x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right)^3}{3x^2+1}\)=\(\frac{x^3\left(1-\frac{1}{x}\right)^3}{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
x^2*x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)\)
x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\)
lim x->+00 (1-1/x)=1 Par composition lim x->1 x^3=1
lim x->+00 x= +00 Par produit lim x->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3\)=+00
lim x->+00 (3+1/x^2)=3
Par quotient lim x ->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\) =+00
lim x->-00 (1-1/x)=1 Par composition lim x->1 x^3=1
lim x->-00 x= -00 Par produit lim x->+00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3\)=-00
lim x->-00 (3+1/x^2)=3
Par quotient lim x ->-00 x\(\left(1-\frac{1}{x}\right)^3/(3+\frac{1}{x^2})\) =-00
2. Etudier les variations de f
3(x-1)^3/3x^2+1
=3(x^2-2x+1)(x-1)/3x^2+1
=3(x^3-x^2-2x^2+2x+x-1)/3x^2+1
=3(x^3-3x^2+3x-1)/3x^2+1
=(3x^3-9x^2+9x-3)/3x^2+1
j'arrive a u/v
u=(3x^3-9x^2+9x-3) u'=9x^2-18x+9
v=3x^2+1 v'=6x
f'(x)=u'v-uv'/v^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-(3x^3-9x^2+9x-3)(6x)/(3x^2+1)^2
(18x^4-63x^3+9)/(3x^2+1)^2
J'aimerai savoir si ma dérivé est juste
Merci
-
sos-math(21)
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Re: Fonction
Bonjour,
Note que j'avais oublié un facteur 3 au numérateur dans l'expression que j'avais proposée : il faudra que tu en tiennes compte dans l'écriture de tes limites mais celles-ci sont correctes.
Pour la dérivée, il y a des erreurs de calculs et il faut travailler avec un minimum de développements :
\((x-1)^3=u(x)^n\), avec \(u(x)=x-1\), et on sait que la dérivée d'une fonction puissance vaut \((u^n)'=n\times u'\times u^{n-1}\)
Utilise cela pour la dérivée de \((x-1)^3\). Tu dois arriver à une belle dérivée qui se factorise bien.
Bon calcul....
Note que j'avais oublié un facteur 3 au numérateur dans l'expression que j'avais proposée : il faudra que tu en tiennes compte dans l'écriture de tes limites mais celles-ci sont correctes.
Pour la dérivée, il y a des erreurs de calculs et il faut travailler avec un minimum de développements :
\((x-1)^3=u(x)^n\), avec \(u(x)=x-1\), et on sait que la dérivée d'une fonction puissance vaut \((u^n)'=n\times u'\times u^{n-1}\)
Utilise cela pour la dérivée de \((x-1)^3\). Tu dois arriver à une belle dérivée qui se factorise bien.
Bon calcul....
-
Pierre
Re: Fonction
Bonjour,
Pour la dérive j'ai bien utilise la formule ce qui me donne 3(x-1)^2 mais que devient le facteur 3 ?
et apres j'utilise la formule u/v ou la formule u*v avec u=3 u'=0 est v=(x-1)^3 v'=3(x-1)^2
Merci pour votre aide
Pour la dérive j'ai bien utilise la formule ce qui me donne 3(x-1)^2 mais que devient le facteur 3 ?
et apres j'utilise la formule u/v ou la formule u*v avec u=3 u'=0 est v=(x-1)^3 v'=3(x-1)^2
Merci pour votre aide
-
SoS-Math(25)
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Fonction
Bonjour Pierre,
Le facteur 3 reste là.... Regarde :
La dérivée de \(3x^2\) est 3 fois la dérivée de \(x^2\) soit : \(3\times 2x = 6x\).
Il en est de même pour la dérivée de \(3(x-1)^3\).... Si tu utilises la formule \(u\times v\) tu retrouveras ce résultat.
Bon courage !
Le facteur 3 reste là.... Regarde :
La dérivée de \(3x^2\) est 3 fois la dérivée de \(x^2\) soit : \(3\times 2x = 6x\).
Il en est de même pour la dérivée de \(3(x-1)^3\).... Si tu utilises la formule \(u\times v\) tu retrouveras ce résultat.
Bon courage !
-
Pierre
Re: Fonction
Rebonjour,
voici mon nouveau calcul
u=3(x-1)^3
u'=9(x-^1)^2
v=3x^2+1
v'=6x
u'v-uv'/v^2
9(x-1)^2(3x^2+1)-3(x-1)^3*6x/(3x^2+1)^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-3(x^3-3x^2+3x-1)*6x/(3x^2+1)^2
3(9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3)-3(6x^4-18x^3+18x^2-6x)/
3((9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3 -6x^4+18x^3-18x^2+6x))/(3x^2+1)^2
3(3x^4-6x^2+3)/(3x^2+1)^2
Est ce que cette nouvelle derivée est juste ?
Merci d'Avance
voici mon nouveau calcul
u=3(x-1)^3
u'=9(x-^1)^2
v=3x^2+1
v'=6x
u'v-uv'/v^2
9(x-1)^2(3x^2+1)-3(x-1)^3*6x/(3x^2+1)^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-3(x^3-3x^2+3x-1)*6x/(3x^2+1)^2
3(9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3)-3(6x^4-18x^3+18x^2-6x)/
3((9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3 -6x^4+18x^3-18x^2+6x))/(3x^2+1)^2
3(3x^4-6x^2+3)/(3x^2+1)^2
Est ce que cette nouvelle derivée est juste ?
Merci d'Avance
-
SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Fonction
Je ne sais pas si ton calcul est juste mais le principe a l'air correct.
Tu ne dois pas obtenir une dérivée si moche. Pour cela il ne faut pas développer de gros facteurs. Essaye de factoriser par \(~3(x-1)^2\) au numérateur dès le début :
\(~9(x-1)^2\times (3x^2+1)-3(x-1)^3\times 6x = 3(x-1)^2(....??...)\)
Puis simplifie encore...
Tu dois trouver une expression relativement simple à étudier.
Bon courage !
Tu ne dois pas obtenir une dérivée si moche. Pour cela il ne faut pas développer de gros facteurs. Essaye de factoriser par \(~3(x-1)^2\) au numérateur dès le début :
\(~9(x-1)^2\times (3x^2+1)-3(x-1)^3\times 6x = 3(x-1)^2(....??...)\)
Puis simplifie encore...
Tu dois trouver une expression relativement simple à étudier.
Bon courage !
-
Pierre
Re: Fonction
Bonsoir,
Je vient de modifier la fin de mon calcul,
u=3(x-1)^3
u'=9(x-^1)^2
v=3x^2+1
v'=6x
u'v-uv'/v^2
9(x-1)^2(3x^2+1)-3(x-1)^3*6x/(3x^2+1)^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-3(x^3-3x^2+3x-1)*6x/(3x^2+1)^2
3(9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3)-3(6x^4-18x^3+18x^2-6x)/
3((9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3 -6x^4+18x^3-18x^2+6x))/(3x^2+1)^2
3(3x^4-6x^2+3)/(3x^2+1)^2
(9x^4-18x^2+9)/(3x^2+1)^2
9(x^4-2x^2+1)/(3x^2+1)^2
9(x^2-1)^2/(3x^2+1)^2
9(x-1)^2*(x+1)^2/(3x^2+1)^2
Est ce mieux comme cela ?
Merci
Je vient de modifier la fin de mon calcul,
u=3(x-1)^3
u'=9(x-^1)^2
v=3x^2+1
v'=6x
u'v-uv'/v^2
9(x-1)^2(3x^2+1)-3(x-1)^3*6x/(3x^2+1)^2
(9x^2-18x+9)(3x^2+1)-3(x^3-3x^2+3x-1)*6x/(3x^2+1)^2
3(9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3)-3(6x^4-18x^3+18x^2-6x)/
3((9x^4-18x+9x^2+3x^2-6x+3 -6x^4+18x^3-18x^2+6x))/(3x^2+1)^2
3(3x^4-6x^2+3)/(3x^2+1)^2
(9x^4-18x^2+9)/(3x^2+1)^2
9(x^4-2x^2+1)/(3x^2+1)^2
9(x^2-1)^2/(3x^2+1)^2
9(x-1)^2*(x+1)^2/(3x^2+1)^2
Est ce mieux comme cela ?
Merci
-
SoS-Math(25)
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Fonction
C'est cela je crois !!
Tu peux maintenant etudier le signe de f'
Bon travail !
Tu peux maintenant etudier le signe de f'
Bon travail !
-
Pierre
Re: Fonction
Bonjour,
Pour le signe de f' je trouve
-00 -1 1 +00
9(x^-1)^2 + 0 + 0 +
(3x^2+1)^2 + + +
f'(x) + + +
9(x^2-1)^2>0
(3x^2+1)^2>0
f(x) est croissante sur R
L'equation de la tangente T à Cf au point d'Abscisse 0
y=f'(a)(x-a)+f(a)
a=0
y=f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)=9
f(0)=-3
donc y=9x-3
Pouvez vous me dire si pour l'instant mes résultats sont ils corrects
Désole pour le tableau.
Merci
Pour le signe de f' je trouve
-00 -1 1 +00
9(x^-1)^2 + 0 + 0 +
(3x^2+1)^2 + + +
f'(x) + + +
9(x^2-1)^2>0
(3x^2+1)^2>0
f(x) est croissante sur R
L'equation de la tangente T à Cf au point d'Abscisse 0
y=f'(a)(x-a)+f(a)
a=0
y=f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)=9
f(0)=-3
donc y=9x-3
Pouvez vous me dire si pour l'instant mes résultats sont ils corrects
Désole pour le tableau.
Merci
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonction
Dans ton tableau de signe,
tu dois avoir
une ligne pour \(9(x-1)^2\) : positif partout, 0 en 1
une ligne pour \((x+1)^2\) : positif partout, 0 en -1
Je crois que toi, tu as écrit cela en une seule ligne, en disant \(9(x-1)^2\times (x+1)^2=9(x^2-1)^2\) : c'est pareil.
une ligne pour le dénominateur \((3x^2+1)^2\) : positif partout,
Au final, la dérivée est bien toujours positive et la fonction croissante sur \(\mathbb{R}\).
Pour la tangente, c'est bon.
Bonne suite
tu dois avoir
une ligne pour \(9(x-1)^2\) : positif partout, 0 en 1
une ligne pour \((x+1)^2\) : positif partout, 0 en -1
Je crois que toi, tu as écrit cela en une seule ligne, en disant \(9(x-1)^2\times (x+1)^2=9(x^2-1)^2\) : c'est pareil.
une ligne pour le dénominateur \((3x^2+1)^2\) : positif partout,
Au final, la dérivée est bien toujours positive et la fonction croissante sur \(\mathbb{R}\).
Pour la tangente, c'est bon.
Bonne suite
-
Pierre
Re: Fonction
Bonsoir
Etudier la position relative de la courbe Cf par rapport a la droite D
d'equation y = x - 3
f(x) negatif en -00
en 1=0
positif entre 1 et 3
positif en +00
(x-3) negatif en -00
negatif entre 1 et 3
en 3=0
positif en +00
f(x)-(x-3)
negatif en -00
positif entre 1 et 3
positif en +00
Alors D est au dessus de Cf entre ]-00;-3[
Cf au dessus de D entre [-3;+00[
Indication : On pourra etudier le signe de f (x)- (x -3).
Calculer lim x->-00 f (x)-(x - 3) et lim x->+00 f (x)-(x -3).
lim x->-00 f(x)=-00
lim x->-00 -1=-1
lim x->-00 (x-3)=-00
Par produit
lim x->-00 -(x-3)=+00
Par somme
lim x->-00 f(x)-(x-3)=+00
lim x->+00 f(x)=+00
lim x->+00 -(x-3)=-00
Par somme on obtiens une FI
j'ai essaie de passer par x(1-3/x) mais je trouve toujours une FI
Pouvez vous m'aiguiller s'il vous plait
Merci
Pierre
Etudier la position relative de la courbe Cf par rapport a la droite D
d'equation y = x - 3
f(x) negatif en -00
en 1=0
positif entre 1 et 3
positif en +00
(x-3) negatif en -00
negatif entre 1 et 3
en 3=0
positif en +00
f(x)-(x-3)
negatif en -00
positif entre 1 et 3
positif en +00
Alors D est au dessus de Cf entre ]-00;-3[
Cf au dessus de D entre [-3;+00[
Indication : On pourra etudier le signe de f (x)- (x -3).
Calculer lim x->-00 f (x)-(x - 3) et lim x->+00 f (x)-(x -3).
lim x->-00 f(x)=-00
lim x->-00 -1=-1
lim x->-00 (x-3)=-00
Par produit
lim x->-00 -(x-3)=+00
Par somme
lim x->-00 f(x)-(x-3)=+00
lim x->+00 f(x)=+00
lim x->+00 -(x-3)=-00
Par somme on obtiens une FI
j'ai essaie de passer par x(1-3/x) mais je trouve toujours une FI
Pouvez vous m'aiguiller s'il vous plait
Merci
Pierre
-
sos-math(21)
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Re: Fonction
Je ne comprends pas trop ce que tu fais :
pour étudier la position de \(C_f\) et de la droite d'équation \(y=x-3\) :
Calcule la différence \(f(x)-(x-3)\) et étudie son signe :
\(f(x)-(x-3)=\frac{3(x-1)^3}{3x^2+1}-\frac{(x-3)(3x^2+1)}{3x^2+1}\), développe et réduis cela.
Bons calculs.
pour étudier la position de \(C_f\) et de la droite d'équation \(y=x-3\) :
Calcule la différence \(f(x)-(x-3)\) et étudie son signe :
\(f(x)-(x-3)=\frac{3(x-1)^3}{3x^2+1}-\frac{(x-3)(3x^2+1)}{3x^2+1}\), développe et réduis cela.
Bons calculs.
-
Pierre
Re: Fonction
Bonsoir,
J'ai fais comme vous me l'avez indiqué
je trouve 8x/(3x^2+1)
je fait le tableau
(8x) negatif -00 0=0 positif+00
(3x^2+1) poistif partout
8x/(3x^2+1) -00 negatif +00 positif
f(x)-y est du signe de (8x) puisque 3x^2+1>0 sur R
Donc f(x)-y>0 sur ]0;+00] et donc Cf est au dessus de D
f(x)-y<0 sur ]-00;0] et donc Cf est au dessous de D
Calculer lim x->-00 f (x)-(x - 3) et lim x->+00 f (x)-(x -3).
8x/(3x^2+1)
8/(3x+1/x)
lim x->-00 8=8
lim x->-00 (3x+1/x)=-00
par quotient lim x->-00 8/(3x+1/x)=0
lim x->+00 8=8
lim x->+00 (3x+1/x)=+00
par quotient lim x->+00 8/(3x+1/x)=0
Donc D y=(x-3) est assymptote oblique en +00 et -00
Est ce que mes resultats son maintenant exacte ?
Merci d'Avance
Pierre
J'ai fais comme vous me l'avez indiqué
je trouve 8x/(3x^2+1)
je fait le tableau
(8x) negatif -00 0=0 positif+00
(3x^2+1) poistif partout
8x/(3x^2+1) -00 negatif +00 positif
f(x)-y est du signe de (8x) puisque 3x^2+1>0 sur R
Donc f(x)-y>0 sur ]0;+00] et donc Cf est au dessus de D
f(x)-y<0 sur ]-00;0] et donc Cf est au dessous de D
Calculer lim x->-00 f (x)-(x - 3) et lim x->+00 f (x)-(x -3).
8x/(3x^2+1)
8/(3x+1/x)
lim x->-00 8=8
lim x->-00 (3x+1/x)=-00
par quotient lim x->-00 8/(3x+1/x)=0
lim x->+00 8=8
lim x->+00 (3x+1/x)=+00
par quotient lim x->+00 8/(3x+1/x)=0
Donc D y=(x-3) est assymptote oblique en +00 et -00
Est ce que mes resultats son maintenant exacte ?
Merci d'Avance
Pierre